Question

關(guān)于x的一元二次方程（m²-1）x²-2（m-2）x+1=0．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）點(diǎn)A（-1，-1）是拋物線y=（m²-1）x²-2（m-2）x+1上的點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，是否存在與拋物線只交于點(diǎn)B的直線，若存在，請(qǐng)求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先列出方程的根的判別式，若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么判別式必大于0，可據(jù)此求出m的取值范圍，需要注意的是，此方程式一元二次方程，二次項(xiàng)系數(shù)不等于0的條件不能丟．
（2）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出m的值，從而確定該拋物線的解析式．
（3）首先根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后分兩種情況考慮：①此直線過(guò)B點(diǎn)且與y軸平行，顯然這種情況符合題意；②若直線與y軸不平行，那么可根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)設(shè)出該直線的解析式（只有一個(gè)未知系數(shù)），若此直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，那么聯(lián)立直線和拋物線所得方程的根的判別式應(yīng)該等于0，可據(jù)此確定直線的解析式．

解答：解：（1）由題意得，△=[-2（m-2）]²-4（m²-1）＞0，
解得，m＜

5

4

，
又∵m²-1≠0，
解得，m≠±1；
當(dāng)m＜

5

4

且m≠±1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1分）

（2）由題意得，m²-1+2（m-2）+1=-1，
解得，m=-3，m=1（舍），（2分）
y=8x²+10x+1．（3分）

（3）拋物線的對(duì)稱軸是x=-

5

8

，
由題意得，B（-

1

4

，-1）；（4分）
x=-

1

4

與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)B；（5分）
另設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線y=kx+b（k≠0），
把B（-

1

4

，-1）代入y=kx+b，得-

k

4

+b=-1，
b=

1

4

k-1，
y=kx+

1

4

k-1，

y=8x2+10x+1 y=kx+ 1 4 k-1

，
整理得，8x²+（10-k）x-

1

4

k+2=0；
有且只有一個(gè)交點(diǎn)，△=(10-k)2-4×8×(-

1

4

k+2)=0，
解得，k=6，（6分）
y=6x+

1

2

，（7分）
綜上，與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)B的直線的解析式有x=-

1

4

，y=6x+

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根的判別式，函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)，難度適中．