Question

如圖，把一個正三角形的每一邊三等分，取中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，重復上述兩步，畫出更小的正三角形；一直重復，直到無窮，所畫出的曲線叫做“科鏤曲線”，又稱為“雪花曲線”．已知圖①中正三角形的周長為C₁=3，圖②中圖形的周長C₂=4，按此規(guī)律下去，第5個圖形的周長C₅=

256

27

．

Answer 1

分析：由于圖①中正三角形的周長為C₁=3，觀察圖形得到圖②在圖①的基礎(chǔ)上每邊多了邊長的

1

3

，則圖②中的圖形的周長C₂=3+

1

3

×3=3+1=4，圖③在圖②的基礎(chǔ)上每邊多了邊長的

1

9

，得到圖③中正三角形的周長為C₃=4+

1

3

×

1

3

×3×4=

16

3

，于是得到圖④中圖形的周長C₄=

16

3

+

1

3

×

1

3

×

1

3

×3×4×4，圖⑤中圖形的周長C₅=

64

9

+

1

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

×3×4×4×4．

解答：解：圖①中正三角形的周長為C₁=3，
圖②中圖形的周長C₂=3+

1

3

×3=3+1=4，
圖③中正三角形的周長為C₃=4+

1

3

×

1

3

×3×4=

16

3

，
圖④中圖形的周長C₄=

16

3

+

1

3

×

1

3

×

1

3

×3×4×4=

64

9

，
圖⑤中圖形的周長C₅=

64

9

+

1

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

×3×4×4×4=

256

27

．
故答案為

256

27

．

點評：本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類：通過從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．