Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過(guò)B,M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰為⊙O的直徑.

（1）求證：AE與⊙O相切；

（2）當(dāng)BC=4,cosC=時(shí)，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）通過(guò)證明OM⊥AE即可證明AE與⊙O相切。

(2）半徑為

【解析】試題分析：（1）連接OM．根據(jù)OB=OM，得∠OMB=∠OBM，結(jié)合BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M，得∠OBM=∠EBM，則OM∥BE；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得AE⊥BC，則OM⊥AE，從而證明結(jié)論；（2）設(shè)圓的半徑是r．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得BE=CE=2，再根據(jù)解直角三角形的知識(shí)求得AB=6，則OA=6-r，從而根據(jù)平行線分線段成比例定理求解；

試題解析：

(1) 連接OM，則OM＝OB，如圖所示：

∴∠OBM=∠OMB

∵BM平分∠ABC

∴∠OBM=∠EBM

∴∠OMB=∠EBM

∴OM∥BE

∴∠AMO=∠AEB

而在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分線

∴AE⊥BC

∴∠AMO=∠AEB=90°

∴AE與⊙O相切.

(2) 在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分線

∴BE=BC=2,∠ABC=∠ACB

∴在Rt⊿ABC中cos∠ABC=cos∠ACB==

∴AB=6

設(shè)⊙O的半徑為r,則AO=6-r

∵OM∥BC

∴△AOM∽△ABE

∴=

即 =

∴r=