Question

如圖，扇形OMN的半徑為1，圓心角是90°．點B是

MN

上一動點，BA⊥OM于點A，BC⊥ON于點C，點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，GF與CE相交于點P，DE與AG相交于點Q．
（1）求證：四邊形EPGQ是平行四邊形；
（2）探索當OA的長為何值時，四邊形EPGQ是矩形；
（3）連接PQ，試說明3PQ²+OA²是定值．

Answer 1

分析：（1）由BA⊥OM，BC⊥ON，∠AOC=90°，可判定四邊形OABC是矩形，即可得AB∥OC，AB=OC，又由E、G分別是AB、CO的中點，即可得四邊形AECG為平行四邊形，連接OB，點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，根據(jù)三角形中位線的性質，即可得PG∥EQ，即可判定四邊形EPGQ是平行四邊形；
（2）由當∠CED=90°時，?EPGQ是矩形，易得△AED∽△BCE，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例與勾股定理，即可求得OA的長；
（3）連接GE交PQ于O′，易得O′P=O′Q，O′G=0′E，然后過點P作OC的平行線分別交BC、GE于點B′、A′，由△PCF∽△PEG，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例與勾股定理，即可求得3PQ²+OA²的值．

解答：解：（1）證明：連接OB，如圖①，
∵BA⊥OM，BC⊥ON，
∴∠BAO=∠BCO=90°，
∵∠AOC=90°，
∴四邊形OABC是矩形．
∴AB∥OC，AB=OC，
∵E、G分別是AB、CO的中點，
∴AE∥GC，AE=GC，
∴四邊形AECG為平行四邊形．
∴CE∥AG，
∵點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，
∴GF∥OB，DE∥OB，
∴PG∥EQ，
∴四邊形EPGQ是平行四邊形；

（2）如圖②，當∠CED=90°時，?EPGQ是矩形．
此時∠AED+∠CEB=90°．
又∵∠DAE=∠EBC=90°，
∴∠AED=∠BCE．
∴△AED∽△BCE，
∴

AD

BE

=

AE

BC

．
設OA=x，AB=y，則

x

2

：

y

2

=

y

2

：x，
得y²=2x²，
又 OA²+AB²=OB²，
即x²+y²=1²．
∴x²+2x²=1，
解得：x=

3

3

．
當OA的長為

3

3

時，四邊形EPGQ是矩形；

（3）如圖③，連接GE交PQ于O′，
∵四邊形EPGQ是平行四邊形，
∴O′P=O′Q，O′G=0′E．
過點P作OC的平行線分別交BC、GE于點B′、A′．
由△PCF∽△PEG得，

PG

PF

=

PE

PC

=

GE

FC

=

2

1

，
∴PA′=

2

3

A′B′=

1

3

AB，GA′=

1

3

GE=

1

3

OA，
∴A′O′=

1

2

GE-GA′=

1

6

OA．
在Rt△PA′O′中，PO′²=PA′²+A′O′²，
即 

PQ2

4

=

AB2

9

+

OA2

36

，
又 AB²+OA²=1，
∴3PQ²=AB²+

1

3

，
∴OA²+3PQ²=OA²+（AB²+

1

3

）=

4

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意準確作出輔助線，注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用．