Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P，D（P，D兩點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)間的最短距離為 ．

Answer 1

【答案】2 ﹣2
【解析】解：①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上（在菱形的邊及其內(nèi)部）的點(diǎn)滿足題意，此時(shí)就轉(zhuǎn)化為了“直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)連線的線段中垂線段最短“，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PD值最小，為2；

②若以邊PC為底，∠PBC為頂角時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑作圓，與BD相交于一點(diǎn)，則弧AC（除點(diǎn)C外）上的所有點(diǎn)都滿足△PBC是等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，PD最小，最小值為2√3﹣2；

③若以邊PB為底，∠PCB為頂角，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作圓，則弧BD上的點(diǎn)A與點(diǎn)D均滿足△PBC為等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PD最小，顯然不滿足題意，故此種情況不存在；

綜上所述，PD的最小值為2 ﹣2．

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上（在菱形的邊及其內(nèi)部）的點(diǎn)滿足題意，由直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)連線的線段中垂線段最短，得到當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PD值最��；②若以邊PC為底，∠PBC為頂角時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑作圓，與BD相交于一點(diǎn)，則弧AC（除點(diǎn)C外）上的所有點(diǎn)都滿足△PBC是等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，PD最��；③若以邊PB為底，∠PCB為頂角，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作圓，則弧BD上的點(diǎn)A與點(diǎn)D均滿足△PBC為等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PD最小，顯然不滿足題意，故此種情況不存在；得出PD的最小值.