Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜0），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D．
①求線段PD的長(zhǎng)的最大值；②當(dāng)BD=2CD時(shí)，求t的值；
（3）若點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線上存在點(diǎn)M，使得以B、C、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c

將A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c得 ，解得

∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+2x+3；

（2）解：①過(guò)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)E，如圖1，

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b得 ，解得：k=﹣1，b=3，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），則E（t，﹣t+3），

∴PE=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∵OB=OC=3，

∴∠OBC=45°

∵PD⊥BC，

∴∠PED=45°，

∴△PDE為等腰直角三角形，

∴PD= PE= （﹣t2+3t）=﹣ ，

∴當(dāng)t= 時(shí)，PD的最大值為 ；

②過(guò)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，則DG∥OC

∴△BOC∽△BGD，

∴ ，

∵BD=2CD

∴BD：BC=2：3，

∴DG= OC=2，

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，

把y=2代入y=﹣x+3得x=1，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），

設(shè)直線PD解析式為y=x+b

把D（1，2）代入上式得2=1+b，解得b=1

∴直線PD解析式為y=x+1，

解方程組 得 或 ，

∴P（2，3），

即當(dāng)BD=2CD時(shí)，t的值為2；

（3）解：當(dāng)四邊形BQCM為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單位可得到C點(diǎn)，則點(diǎn)B向左平移1個(gè)單位得到M點(diǎn)，

即M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣x2+2x+3=3，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）；當(dāng)四邊形BCQM為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)C向右平移1個(gè)單位可得到Q點(diǎn)，則點(diǎn)B向右平移1個(gè)單位可得到M點(diǎn)，即M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)x=4時(shí)，y=﹣x2+2x+3=﹣5，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，﹣5）；當(dāng)四邊形BCMQ為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)B向左平移2個(gè)單位可得到Q點(diǎn)，則點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位得到M點(diǎn)，即M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣x2+2x+3=﹣5，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣5），

綜上所述，滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），（4，﹣5），（﹣2，﹣5）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）①過(guò)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)E，如圖1，先利用待定系數(shù)法求出直線BC解析式為y=﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），則E（t，﹣t+3），所以PE=﹣t2+3t，再判定△PDE為等腰直角三角形得到PD= PE，所以PD= （﹣t2+3t），然后就利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；②過(guò)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，通過(guò)證明△BOC∽△BGD，利用相似比可求出DG=2，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，于是利用二次函數(shù)解析式可確定D點(diǎn)坐標(biāo)，接著求出直線PD解析式為y=x+1，然后解方程組 可得到P點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到t的值；（3）討論：當(dāng)四邊形BQCM為平行四邊形或四邊形BCQM為平行四邊形或四邊形BCMQ為平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)的平移坐標(biāo)規(guī)律確定M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)解析式確定M點(diǎn)的縱坐．