Question

（1997•廣西）已知拋物線y=-x²+bx-12與x軸相交于A（m，0）、B（n，0）兩點(diǎn)，其中m、n滿足（m-1）（n-1）-5=0（m≠n）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）畫出函數(shù)的圖象與對(duì)稱軸，設(shè)Q是拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，以Q為圓心，QB長(zhǎng)為半徑作圓，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作⊙Q的切線OC，C為切點(diǎn)，求OC的長(zhǎng)；
（3）特別地，要使切點(diǎn)C′恰好在拋物線上，應(yīng)如何確定點(diǎn)C′的位置和圓心Q′的位置？簡(jiǎn)述你的作法并在圖中把⊙Q′與切線OC′作出來(lái)（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫作法，但不用證明）．

Answer 1

分析：（1）依題意知m、n是方程-x²+bx-12=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得出m+n及mn的值，再由m、n滿足（m-1）（n-1）-5=0（m≠n）可求出b的值，進(jìn)而得出拋物線的解析式；
（2）由（1）知，拋物線的解析式是y=-x²+8x-12，解方程-x²+8x-12=0可得出OA，OB的值，由點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上可知QA=QB，即點(diǎn)A在⊙Q上，根據(jù)
切線長(zhǎng)定理即可得出OC的長(zhǎng)；
（3）①以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作弧，交拋物線于C′，C′就是所求的切點(diǎn)．
②作AC′的垂直平分線交拋物線的對(duì)稱軸于Q′，點(diǎn)Q′就是所求的圓心．
③以Q′為圓心Q′B（或Q′C′，或Q′A）長(zhǎng)為半徑作圓，作直線OC′，則OC′與⊙Q′相切于C′．

解答：解：（1）∵依題意知m、n是方程-x²+bx-12=0的兩根．
∴m+n=b，mn=12，
∵（m-1）（n-1）-5=0．
∴mn-（m+n）-4=0，
∴12-b-4=0，
∴b=8，
∴拋物線的解析式是y=-x²+8x-12；

（2）∵由（1）知，拋物線的解析式是y=-x²+8x-12，
∴解方程-x²+8x-12=0，得x₁=2，x₂=6
∴OA=2，OB=6（或OA=6，OB=2）
拋物線的圖象如圖所示，
∵Q在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴QA=QB．
∴點(diǎn)A在⊙Q上，
∵OC是⊙Q的切線，
∴OC²=OA•OB=2×6=12
∴OC=2

3

；

（3）作法：①以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作弧，交拋物線于C′，C′就是所求的切點(diǎn)．
②作AC′的垂直平分線交拋物線的對(duì)稱軸于Q′，點(diǎn)Q′就是所求的圓心．
③以Q′為圓心Q′B（或Q′C′，或Q′A）長(zhǎng)為半徑作圓，作直線OC′，則OC′與⊙Q′相切于C′．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到韋達(dá)定理、切割線定理及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等相關(guān)知識(shí)，難度適中．