【題目】△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.
(1)觀察猜想
如圖1,當(dāng)點D在線段BC上時,
①BC與CF的位置關(guān)系為: .
②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為:;(將結(jié)論直接寫在橫線上)
(2)數(shù)學(xué)思考
如圖2,當(dāng)點D在線段CB的延長線上時,結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明.
(3)拓展延伸
如圖3,當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,延長BA交CF于點G,連接GE.若已知AB=2 ,CD= BC,請求出GE的長.
【答案】
(1)垂直;BC=CF+CD
(2)
證明:成立,
∵正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠B=∠ACF,CF=BD
∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD;
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD
(3)
解: 過A作AH⊥BC于H,過E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC= AB=4,AH= BC=2,
∴CD= BC=1,CH= BC=2,
∴DH=3,
由(2)證得BC⊥CF,CF=BD=5,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四邊形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN,
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM,
在△ADH與△DEM中, ,
∴△ADH≌△DEM,
∴EM=DH=3,DM=AH=2,
∴CN=EM=3,EN=CM=3,
∵∠ABC=45°,
∴∠BGC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∴CG=BC=4,
∴GN=1,
∴EG= = .
【解析】解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD;
故答案為:垂直;
②△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD;
故答案為:BC=CF+CD;
(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD,∠ACF=∠ABD,根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC= AB=4,AH= BC=2,求得DH=3,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DE,∠ADE=90°,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NE=CM,EM=CN,由角的性質(zhì)得到∠ADH=∠DEM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=DH=3,DM=AH=2,等量代換得到CN=EM=3,EN=CM=3,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=BC=4,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),正方形的性質(zhì),余角的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形的判定和性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠ADC=88°,∠B=68°,∠ACD=∠BCD,AE平分∠BAC,則∠AED的度數(shù)為_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題如圖1,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,∠DPC=∠A=∠B=90°
(1)求證:ADBC=APBP
(2)探究如圖2,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時,上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.
(3)應(yīng)用請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗解決問題:
如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點P以每秒1個單位長度的速度,由點A出發(fā),沿邊AB向點B運動,且滿足∠DPC=∠A,設(shè)點P的運動時間為t(秒),當(dāng)以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切時,求t的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD的邊長為1,點P為正方形內(nèi)一動點,若點M在AB上,且滿足△PBC∽△PAM,延長BP交AD于點N,連結(jié)CM.
(1)如圖一,若點M在線段AB上,求證:AP⊥BN;AM=AN;
(2)①如圖二,在點P運動過程中,滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時,AP⊥BN和AM=AN是否成立?(不需說明理由)
②是否存在滿足條件的點P,使得PC= ?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】威麗商場銷售A、B兩種商品,售出1件A種商品和4件B種商品所得利潤為600元;售出3件A種商品和5件B種商品所得利潤為1100元.
(1)求每件A種商品和每件B種商品售出后所得利潤分別為多少元?
(2)由于需求量大,A、B兩種商品很快售完,威麗商場決定再一次購進A、B兩種商品共34件,如果將這34件商品全部售完后所得利潤不低于4000元,那么威麗商場至少需購進多少件A種商品?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市南縣大力發(fā)展農(nóng)村旅游事業(yè),全力打造“洞庭之心濕地公園”,其中羅文村的“花海、涂鴉、美食”特色游享譽三湘,游人如織.去年村民羅南洲抓住機遇,返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),投入20萬元創(chuàng)辦農(nóng)家樂(餐飲+住宿),一年時間就收回投資的80%,其中餐飲利潤是住宿利潤的2倍還多1萬元.
(1)求去年該農(nóng)家樂餐飲和住宿的利潤各為多少萬元?
(2)今年羅南洲把去年的餐飲利潤全部用于繼續(xù)投資,增設(shè)了土特產(chǎn)的實體店銷售和網(wǎng)上銷售項目.他在接受記者采訪時說:“我預(yù)計今年餐飲和住宿的利潤比去年會有10%的增長,加上土特產(chǎn)銷售的利潤,到年底除收回所有投資外,還將獲得不少于10萬元的純利潤.”請問今年土特產(chǎn)銷售至少有多少萬元的利潤?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖①,△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分線交于O點,過O點作EF∥BC交AB、AC于點E、F.試猜想EF、BE、CF之間有怎樣的關(guān)系,并說明理由.
(2)如圖,若將圖①中∠ACB的平分線改為外角∠ACD的平分線,其它條件不變,則剛才的結(jié)論還成立嗎?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=3,BC=5,點E、F是BC、CD邊上的動點(包括端點處),若將紙片沿EF折疊,使得點C恰好落在AD邊上點P處.設(shè)CF=x,則x的取值范圍為 .
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com