Question

如圖，A，B兩個(gè)工廠位于一段直線形河的異側(cè)，A廠距離河邊AC=5km，B廠距離河邊BD=1km，經(jīng)測量CD=8km，現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處（河寬不計(jì)）修一個(gè)污水處理廠E．
（1）設(shè)ED=x，請用x的代數(shù)式表示AE+BE的長；
（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠E的位置應(yīng)怎樣來確定此時(shí)需要管道多長？
（3）通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請你猜想

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：（1）∵ED=x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根據(jù)勾股定理可用x表示出AE+BE的長；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知連接AB與CD的交點(diǎn)就是污水處理廠E的位置．過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的長；
（3）根據(jù)AE+BE=

(8-x)2+25

+

x2+1

=AB=10，可猜想所求代數(shù)式的值為13．

解答：解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得AE=

(8-x)2+25

，BE=

x2+1

，
∴AE+BE=

(8-x)2+25

+

x2+1

；

（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知連接AB與CD的交點(diǎn)就是污水處理廠E的位置．
過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，則有BF=CD=8，BD=CF=1．∴AF=AC+CF=6．
在Rt△ABF中，BA=

AF2+BF2

=

62+82

=10，
∴此時(shí)最少需要管道10km．

（3）根據(jù)以上推理，可作出下圖：
設(shè)ED=x．AC=3，DB=2，CD=12．當(dāng)A、E、B共線時(shí)求出AB的值即為原式最小值．
當(dāng)A、E、B共線時(shí)

x2+4

+

(12-x)2+9

=

(3+2)2+122

=13，即其最小值為13．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道生活聯(lián)系實(shí)際的題目，綜合性較強(qiáng)，綜合利用了勾股定理，及用數(shù)形結(jié)合的方法求代數(shù)式的值的方法，有一定的難度．