Question

【題目】如圖，兩艘海監(jiān)船剛好在某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏，同時(shí)發(fā)現(xiàn)一艘不明國(guó)籍船只停在C處海域，AB=60（ +1）海里，在B處測(cè)得C在北偏東45°反向上，A處測(cè)得C在北偏西30°方向上，在海岸線AB上有一燈塔D，測(cè)得AD=100海里．

（1）分別求出AC，BC（結(jié)果保留根號(hào)）．
（2）已知在燈塔D周?chē)?0海里范圍內(nèi)有暗礁群，在A處海監(jiān)穿沿AC前往C處盤(pán)查，途中有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，

可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，

設(shè)CE=x，

在Rt△CBE中，BE=CE=x，

在Rt△CAE中，AE= x，

∵AB=60（ +1）海里，

∴x+ x=60（ +1），

解得：x=60 ，

則AC= x=120，

BC= x=60 ，

答：A與C的距離為120海里，B與C的距離為60 海里

（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，

在△ADF中，

∵AD=100，∠CAD=60°，

∴DF=ADsin60°=50 ≈86.6＜100，

故海監(jiān)船沿AC前往C處盤(pán)查，無(wú)觸礁的危險(xiǎn)

【解析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，設(shè)CE=x，在Rt△CBE與Rt△CAE中，分別表示出BE、AE，根據(jù)AB=BE+AE建立方程，繼而可求出AC、BC的長(zhǎng)度。
（2）添加輔助線，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，在△ADF中，根據(jù)AD的值，利用三角函數(shù)的知識(shí)求出DF的長(zhǎng)度，然后與100比較，進(jìn)行判斷。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握分母口訣：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口訣：“123，321，三九二十七”；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能正確解答此題．