Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，CD＝3cm，BC＝4cm，連接BD，并過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BD，垂足為N，直線l垂直BC，分別交BD、BC于點(diǎn)P、Q．直線l從AB出發(fā)，以每秒1cm的速度沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)到CD為止；點(diǎn)M沿線段DA以每秒1cm的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A為止，直線1與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）線段CN＝　 　；

（2）連接PM和QN，當(dāng)四邊形MPQN為平行四邊形時(shí)，求t的值；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)△PMN的面積取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝；（3）t＝4時(shí)，△PMN的面積取得最大值，最大值為．

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)和勾股定理可求BD的長(zhǎng)，由三角形的面積公式可求CN的長(zhǎng)；

（2）由勾股定理可求DN的長(zhǎng)，通過(guò)證明△DMN∽△DAB，可得，可得DM的值，即可求t的值；

（3）分兩種情況討論，利用三角形面積公式列出△PMN的面積與t的關(guān)系式，可求△PMN的面積的最大值．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴BC＝AD＝4cm，∠BCD＝90°＝∠A，

∴BD＝＝5cm，

∵S△BCD＝BCCD＝BDCN

∴CN＝

故答案為：

（2）在Rt△CDN中，DN＝＝

∵四邊形MPQN為平行四邊形時(shí)

∴PQ∥MN，且PQ⊥BC，AD∥BC

∴MN⊥AD

∴MN∥AB

∴△DMN∽△DAB

∴

即

∴DM＝cm

∴t＝

（3）∵BD＝5，DN＝

∴BN＝

如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BD于點(diǎn)H，

∵sin∠MDH＝sin∠BDA＝

∴

∴MH＝t

當(dāng)0＜t＜

∵BQ＝t，

∴BP＝t，

∴PN＝BD﹣BP﹣DN＝5﹣﹣t＝﹣t

∴S△PMN＝×PN×MH＝×t×（﹣t）＝﹣t2+t

∴當(dāng)t＝s時(shí)，S△PMN有最大值，且最大值為，

當(dāng)t＝s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，點(diǎn)P，點(diǎn)N，點(diǎn)M不構(gòu)成三角形；

當(dāng)＜t≤4時(shí)，如圖，

∴PN＝BP﹣BN＝t﹣

∴S△PMN＝×PN×MH＝×t×（t﹣）＝t2﹣t

當(dāng)＜t≤4時(shí)，S△PMN隨t的增大而增大，

∴當(dāng)t＝4時(shí)，S△PMN最大值為，

∵＞

∴綜上所述：t＝4時(shí)，△PMN的面積取得最大值，最大值為．