Question

（2013•樂(lè)山模擬）選做題：
題乙：已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2kx+k²+2=2（1-x）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若方程的兩實(shí)數(shù)根x₁、x₂滿足|x₁+x₂|=x₁x₂-1，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先把方程化為一般式得到x²-2（k-1）x+k²=0，根據(jù)根的判別式的意義得到△=4（k-1）²-4k²≥0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²，則|2（k-1）|=k²-1，利用（1）的k的范圍去絕對(duì)值后解方程得到k₁=-3，k₂=1，然后根據(jù)（1）中k的范圍確定k的值．

解答：解：（1）方程整理為x²-2（k-1）x+k²=0，
根據(jù)題意得△=4（k-1）²-4k²≥0，
解得k≤

1

2

；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²，
∵|x₁+x₂|=x₁x₂-1，
∴|2（k-1）|=k²-1，
∵k≤

1

2

，
∴-2（k-1）=k²-1，
整理得k²+2k-3=0，解得k₁=-3，k₂=1（舍去），
∴k=-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．