Question

（2008•奉賢區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC=10，點(diǎn)B到AC的距離為4，E、F是對角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)A、點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，沿對角線以1厘米/秒的相同速度運(yùn)動(dòng)，過E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角邊于H；過F作FG⊥AC交CD邊于G，連接HG．
（1）求∠ACB的正切值；
（2）設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S，若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（3）當(dāng)t取何值時(shí)，以E為圓心，EH為半徑的圓E，與以F為圓心，F(xiàn)G為半徑的圓F外切？

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△AMB∽△BMC，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出BM：MC=AM：BM，即BM²=AM•MC，設(shè)MC=x，列出方程，解方程求出x的值，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出∠ACB的正切值；
（2）分三種情況討論：①點(diǎn)H在直角邊AD上；②點(diǎn)H在直角邊CD上，且H在G的左邊；③點(diǎn)H在直角邊CD上，且H在G的右邊．先用含t的代數(shù)式分別表示HE，GF，EF，再利用梯形的面積公式S=

1

2

（GF+HE）•EF，即可求解；
（3）以E為圓心，EH為半徑的圓E，與以F為圓心，F(xiàn)G為半徑的圓F外切時(shí)，根據(jù)兩圓外切時(shí)圓心距等于兩圓半徑之和，得出EH+FG=EF．再分三種情況討論：①點(diǎn)H在直角邊AD上；②點(diǎn)H在直角邊CD上，且H在G的左邊；③點(diǎn)H在直角邊CD上，且H在G的右邊．先用含t的代數(shù)式分別表示HE，GF，EF，再根據(jù)EH+FG=EF列出方程，解方程即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，則BM=4，
由題意可得，∠ACB=∠ABM=90°-∠CBM，
又∵∠AMB=∠BMC=90°，
∴△AMB∽△BMC，
∴BM：MC=AM：BM，即BM²=AM•MC，
設(shè)MC=x，則AM=10-x，
∴4²=x（10-x），
解得x=2或x=8（不合題意，舍去）．
∴tan∠ACB=

BM

MC

=

4

2

=2；

（2）①當(dāng)點(diǎn)H在直角邊AD上時(shí)，如原題圖．
由題意知，AE=CF=t，EF=10-2t，
在Rt△AHE中，tan∠DAC=tan∠ACB=

HE

EA

=2，
∴HE=2t，同理 GF=

1

2

t，
∴由HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積S=

1

2

（

1

2

t+2t）（10-2t）=-

5

2

t²+

25

2

t，
即S=-

5

2

t²+

25

2

t（0＜t≤2）；
②當(dāng)點(diǎn)H在直角邊CD上，且H在G的左邊時(shí)，如備用圖1．
由題意得，AE=CF=t，EF=10-2t，EC=10-t，HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，
∴由HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積S=

1

2

[

1

2

（10-t）+

1

2

t]（10-2t）=25-5t，
即S=25-5t（2＜t＜5）；
③當(dāng)點(diǎn)H在直角邊CD上，且H在G的右邊時(shí)，如備用圖2．
由題意得，AE=CF=t，EF=2t-10，EC=10-t，HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，
∴由HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積S=

1

2

[

1

2

（10-t）+

1

2

t]（2t-10）=5t-25，
即 S=5t-25（5＜t≤8）；

（3）設(shè)以E為圓心，EH為半徑的圓E，與以F為圓心，F(xiàn)G為半徑的圓F外切，
那么應(yīng)滿足EH+FG=EF．
①當(dāng)點(diǎn)H在直角邊AD上時(shí)，
∵HE=2t，GF=

1

2

t，EF=10-2t，
∴2t+

1

2

t=10-2t，解得t=

20

9

．
∵0＜t≤2，∴t=

20

9

不合題意，舍去；
②當(dāng)點(diǎn)H在直角邊CD上，且H在G左邊時(shí)，
∵HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，EF=10-2t，
∴

1

2

（10-t）+

1

2

t=10-2t，
解得t=

5

2

，符合題意；
③當(dāng)點(diǎn)H在直角邊AD上，且H在G右邊時(shí)，
∵HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，EF=2t-10，
∴

1

2

（10-t）+

1

2

t=2t-10，
解得t=

15

2

，符合題意；
綜上，可知當(dāng)t=

5

2

或

15

2

時(shí)，以E為圓心，EH為半徑的圓E，與以F為圓心，F(xiàn)G為半徑的圓F外切．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，梯形的面積，圓與圓的位置關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．