【題目】如圖,AC是矩形ABCD的對角線,過AC的中點O作EF⊥AC,交BC于點E,交AD于點F,連接AE,CF.
(1)求證:四邊形AECF是菱形;
(2)若AB= ,∠DCF=30°,求四邊形AECF的面積.(結(jié)果保留根號)
【答案】
(1)證明:∵O是AC的中點,且EF⊥AC,
∴AF=CF,AE=CE,OA=OC,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AFO=∠CEO,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE(AAS),
∴AF=CE,
∴AF=CF=CE=AE,
∴四邊形AECF是菱形
(2)解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴CD=AB= ,
在Rt△CDF中,cos∠DCF= ,∠DCF=30°,
∴CF= =2,
∵四邊形AECF是菱形,
∴CE=CF=2,
∴四邊形AECF是的面積為:ECAB=2
【解析】(1)由過AC的中點O作EF⊥AC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),可得AF=CF,AE=CE,OA=OC,然后由四邊形ABCD是矩形,易證得△AOF≌△COE,則可得AF=CE,繼而證得結(jié)論;(2)由四邊形ABCD是矩形,易求得CD的長,然后利用三角函數(shù)求得CF的長,繼而求得答案.
【考點精析】關(guān)于本題考查的菱形的判定方法和矩形的性質(zhì),需要了解任意一個四邊形,四邊相等成菱形;四邊形的對角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形;兩對角線若垂直,順理成章為菱形;矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等才能得出正確答案.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm.動點E從點C開始沿邊CB向點B以2cm/s的速度運動,動點F從點C同時出發(fā)沿邊CD向點D以1cm/s的速度運動至點D停止.如圖可得到矩形CFHE,設(shè)運動時間為x(單位:s),此時矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面積為y(單位:cm2),則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)y= (x>0)與一次函數(shù)y=kx+6 交于點C(2,4 ),一次函數(shù)圖象與兩坐標軸分別交于點A和點B,動點P從點A出發(fā),沿AB以每秒1個單位長度的速度向點B運動;同時,動點Q從點O出發(fā),沿OA以相同的速度向點A運動,運動時間為t秒(0<t≤6),以點P為圓心,PA為半徑的⊙P與AB交于點M,與OA交于點N,連接MN、MQ.
(1)求m與k的值;
(2)當t為何值時,點Q與點N重合;
(3)若△MNQ的面積為S,試求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA在x軸上,OB在y軸上,點A,B的坐標分別為( ,0),(0,1),把Rt△AOB沿著AB對折得到Rt△AO′B,則點O′的坐標為 .
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【題目】同學們都知道,表示5與-2之差的絕對值,實際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離,試探索:
(1)求=________.
(2)若=5,則x=____.
(3)同理表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點到-1和2所對應(yīng)的兩點距離之和,請你找出所有符合條件的整數(shù)x,使得=3,這樣的整數(shù)是________(直接寫答案)
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【題目】如圖,在△ABC外分別以AB,AC為邊作兩個大小不同的等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,其中∠DAB=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE.連結(jié)DCBE交于F點.
(1)請你找出一對全等的三角形,并加以證明;
(2)直線DC、BE是否互相垂直,請說明理由;
(3)求證:∠DFA=∠EFA.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,O是正△ABC內(nèi)一點,OA=3,OB=4,OC=5,將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′,下列結(jié)論:①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到;②點O與O′的距離為4;③∠AOB=150°;④S四邊形AOBO′=6+3;⑤S△AOC+S△AOB=6+.其中正確的結(jié)論是
A. ①②③⑤ B. ①③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤
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