Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連結(jié)AC，過(guò) 上一點(diǎn)E作EG∥AC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)AE交CD于點(diǎn)F，且EG=FG，連結(jié)CE．
（1）求證：△ECF∽△GCE；
（2）求證：EG是⊙O的切線；
（3）延長(zhǎng)AB交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若tanG= ，AH=3 ，求EM的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，

∵AC∥EG，

∴∠G=∠ACG，

∵AB⊥CD，

∴ = ，

∴∠CEF=∠ACD，

∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，

∴△ECF∽△GCE

（2）證明：如圖2中，連接OE，

∵GF=GE，

∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∵∠AFH+∠FAH=90°，

∴∠GEF+∠AEO=90°，

∴∠GEO=90°，

∴GE⊥OE，

∴EG是⊙O的切線

（3）解：如圖3中，連接OC．設(shè)⊙O的半徑為r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G= = ，

∵AH=3 ，

∴HC=4 ，

在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣3 ，HC=4 ，

∴（r﹣3 ）2+（4 ）2=r2，

∴r= ，

∵GM∥AC，

∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，

∴△AHC∽△MEO，

∴ = ，

∴ = ，

∴EM=

【解析】（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出 = ，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可證明；（2）欲證明EG是⊙O的切線只要證明EG⊥OE即可；（3）連接OC．設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，證明△AHC∽△MEO，可得 = ，由此即可解決問(wèn)題；