Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P．

（1）當(dāng)∠A=40°,∠ABC=60°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)；

（2）當(dāng)∠A=α°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．（用α的代數(shù)式表示）

（3）小明研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果延長(zhǎng)AB至D，再過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥BP,那么BQ就是∠CBD的平分線。請(qǐng)你證明小明的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）110°；（2）；（3）證明見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）由三角形內(nèi)角和定理，得到∠ABC+∠ACB=140°，由角平分線性質(zhì)，得到∠2+∠4=70°，即可得到∠BPC；

（2）與（1）相同，由三角形內(nèi)角和定理，得到∠ABC+∠ACB=180°-α°，由角平分線定理，得到∠2+∠4=，即可得到∠BPC；

（3）延長(zhǎng)AB至D，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥BP，可得∠2+∠CBQ=90°，則有∠1+∠DBQ=90°，

由∠1=∠2，則∠CBQ=∠DBQ，即可得到結(jié)論成立.

解：（1）在△ABC中，∠A=40°，

∴∠ABC+∠ACB=180°40°=140°，

∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠2=，∠4=，

∴∠2+∠4=70°，

∴∠BPC=180°；

（2）在△ABC中，∠A=，

∴∠ABC+∠ACB=180°°，

∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠2=，∠4=，

∴∠2+∠4=，

∴∠BPC=180°；

（3）如圖，延長(zhǎng)AB至D，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥BP，

∵BQ⊥BP,

∴∠2+∠CBQ=90°，

∴∠1+∠DBQ=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠CBQ=∠DBQ，

∴BQ平分∠CBD.