Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=10，AD=6，DC=8，BC=12，點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在AB上．
（1）若EF平分直角梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE的長(zhǎng)為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將直角梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若線段EF將直角梯形ABCD的周長(zhǎng)分為1：2兩部分，將△BEF的面積記為S₁，五邊形AFECD的面積記為S₂，且S₁：S₂=K求出k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知，得梯形周長(zhǎng)=36，高=8，面積=72．用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積，只需求FG即可；
（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式無解，知不存在線段EF將直角梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．
（3）由已知易知，線段EF將直角梯形ABCD的周長(zhǎng)分為1：2兩部分，只能是FB+BE與FA+AD+DC+CE的比是1：2，則有k=S₁：S₂=

S1

72-S1

，要使k取最大值，只需S₁取最大值，根據(jù)S_△BEF=

1

2

BE•FG=-

2

5

x2+

36

5

x(8≤x≤12)，求出S₁取最大值

72

5

．得出k的最大值是

1

4

．

解答：解：（1）∵EF平分直角梯形ABCD的周長(zhǎng)，BE=x，
x+BF=10-BF+6+8+12-x，
BF=18-x
由已知，得梯形周長(zhǎng)=36，高=8，面積=72．
過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AK⊥BC于點(diǎn)K，
則△BFG∽△BAK，

BF

BA

=

FG

AK

，

18-x

10

=

FG

8

，
可得FG=

4

5

(18-x）
S_△BEF=

1

2

BE•FG=-

2

5

x2+

36

5

x(8≤x≤12)（3分）

（2）不存在．（4分）
由（1）-

2

5

x2+

36

5

x=36，
整理得：（x-9）²=-9，此方程無解．（5分）
不存在線段EF將直角梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．

（3）由已知易知，線段EF將直角梯形ABCD的周長(zhǎng)分為1：2兩部分，只能是FB+BE與FA+AD+DC+CE的比是1：2．（6分）
k=S₁：S₂=

S1

72-S1

要使k取最大值，只需S₁取最大值．
與（1）同理，F(xiàn)G=

4

5

(12-x)S₁=

1

2

BE•FG=-

2

5

x2+

24

5

x(2≤x＜12)，
當(dāng)x=6時(shí)，S₁取最大值

72

5

．此時(shí)k=

1

4

∴k的最大值是

1

4

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合直角梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意此題三角形邊與面積，梯形周長(zhǎng)，高，面積相互間的關(guān)系．