Question

如圖，矩形ABCD中，AB="10" cm，BC="6" cm．現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P在線段AB上沿AB方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段BC上沿BC方向作勻速運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1 cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s．

（1）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為 cm/s．
①當(dāng)△DPQ的面積最小時(shí)，求t的值；
②當(dāng)△DAP∽△QBP相似時(shí)，求t的值．
（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為a cm/s，問是否存在a的值，使得△DAP與△PBQ和△QCD這兩個(gè)三角形都相似？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）①t="6" ②t=－6＋2 （2）①a=

試題分析：（1）①S_△DPQ=S_矩形ABCD－S_△DAP－S_△PBQ－S_△QCD
=60－×6×t－×(10－t)×t－×10×(6－t)
=t²－3t＋30
=(t－6)²＋21．
∵0≤t≤10，∴當(dāng)t="6" s時(shí)，S_△DPQ的最小值為21 cm²．
②當(dāng)△DAP∽△QBP相似時(shí)，有．
即，解得t₁=－6＋2，t₂=－6－2（舍去）．
∴t=－6＋2時(shí)，△DAP∽△QBP．
（2）假設(shè)存在a的值，使得△DAP與△PBQ和△QCD這兩個(gè)三角形都相似，

則AP=t，AQ=at．以下分4種情況進(jìn)行討論．
①當(dāng)∠1＝∠3＝∠4時(shí)，有．
∴，解得t₁=2，t₂=18（舍去）．
此時(shí)a=．
②當(dāng)∠1＝∠3＝∠5時(shí)，有∠DPQ＝∠PQD＝∠PDQ＝90°．
此等式不成立．∴不存在這樣的a值．
③當(dāng)∠1＝∠2＝∠4時(shí)，有．
∴，即有整理，得5t²－36＋180=0，△＜0，方程無實(shí)數(shù)解．
∴不存在這樣的a值．
④當(dāng)∠1＝∠2＝∠5時(shí)，∵AB∥DC，∴∠1＝∠PDC＞∠5．故不存在這樣的a值．
綜上所述，存在a的值，使得△DAP與△PBQ和△QCD這兩個(gè)三角形都相似，此時(shí)a=
點(diǎn)評：該題分析時(shí)較為復(fù)雜，以圖形的邊長為路程，分析時(shí)間的變動(dòng)，以及角的變化，是常考題。