Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的半圓O交BC于點D，交AC于點E，過點A作半圓O的切線交BC的延長線于點F，連結(jié)BE，AD

（1）求證：∠F＝∠EBC；

（2）若AE＝2，tan∠EAD＝，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）由切線的性質(zhì)可得∠F+∠ABC＝90°，可證得∠EBC+∠ACB＝90°，由∠ACB＝∠ABC，可得∠F＝∠EBC；

（2）先求出CE長，則AC可求出，由勾股定理可得AD長．

（1）證明：∵AB為直徑，

∴∠AEB＝∠CEB＝90°，即∠EBC+∠ACB＝90°，

∵AF切半圓O于點A，

∴∠FAB＝90°，

∴∠F+∠ABC＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∴∠F＝∠EBC；

（2）解：∵∠EAD＝∠CBE，

∴tan，

∴設(shè)CE＝x，則BE＝2x，AB＝AC＝2+x．

在Rt△AEB中，22+（2x）2＝（2+x）2，

解得，x1＝0（舍去），．

∴，

在Rt△ACD中，CD2+AD2＝AC2，

∴（），

∴．