Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為4的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限．
（1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是否在直線y=x上？如果在，請給出證明；如果不在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，
∴AC⊥BD，
∴BP=AP=2

2

，
當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，△AOB及△BPA是等腰直角三角形，
∴OA=OB=2

2

，
∴四邊形OAPB是正方形，
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴P（2

2

，2

2

）；

（2）無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是在直線y=x上．
證明：作DE⊥x軸于E，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n）．
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAE=∠ABO
在△AOB和△DEA中：
∵

∠ABO=∠DAE AB=AD ∠BAO=∠ADE

，
∴△AOB≌△DEA（ASA）
∴AE=0B=n，DE=OA=m，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（m+n，m）
∵點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n）
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

m+n

2

，

m+n

2

），
∴點(diǎn)P在直線y=x上，即無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上．