Question

關(guān)于x的方程mx²+4x+1=0，當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，
（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？
（2）方程有實(shí)數(shù)根？

Answer 1

分析：（1）由關(guān)于x的一元二次方程mx²+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義可得m≠0且△＞0，即4²-4•m•1＞0，兩個(gè)不等式的公共解即為m的取值范圍；
（2）①m=0時(shí)，此方程為一元一次方程，并且方程有解；②當(dāng)m≠0時(shí)，由關(guān)于x的一元二次方程mx²+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義可得m≠0且△≥0，即4²-4•m•1≥0，兩個(gè)不等式的公共解即為m的取值范圍．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程mx²+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴m≠0且△＞0，即4²-4•m•1＞0，
解得m＜4，
∴當(dāng)m＜4且m≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2））①m=0時(shí)，此方程為一元一次方程，
即4x+1=0，解得x=-

1

4

，
∴方程有解；
②當(dāng)m≠0時(shí)，
∵關(guān)于x的一元二次方程mx²+4x+1=0有實(shí)數(shù)根，
∴m≠0且△≥0，即4²-4•m•1≥0，
解得m≤4，
∴當(dāng)m≤4且m≠0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．
綜上所述當(dāng)m≤4時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；也考查了一元二次方程的定義．