【題目】如圖①,中,,、∠C的平分線(xiàn)交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作、.試回答:

1)圖中等腰三角形有________個(gè).猜想:、之間的關(guān)系是________.說(shuō)明理由;

2)如圖②,若,圖中等腰三角形有________個(gè),在第(1)問(wèn)中、間的關(guān)系還存在嗎?

3)如圖③,若的平分線(xiàn)與三角形外角平分線(xiàn)交于,過(guò)點(diǎn)作,交,這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由.

【答案】(1) 5個(gè),;(2)見(jiàn)解析;(3) 見(jiàn)解析.

【解析】

1)根據(jù)等腰三角形的判定、平分線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)可得有5個(gè)等腰三角形, △EOB△FOC是等腰三角形,則EO=BE,OF=FC,則EF=BE+FC;

2)由(1)的證明過(guò)程可知:在證△OEB△OFC是等腰三角形的過(guò)程中,與AB=AC的條件沒(méi)有關(guān)系,故這兩個(gè)等腰三角形還成立.所以(1)中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立.
3)思路與(2)相同,只不過(guò)結(jié)果變成了EF=BE-FC

解:(1)如圖1,圖中共有5個(gè)等腰三角形,分別是△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
理由是:∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC,△ABC是等腰三角形;
∵BO、CO分別平分∠ABC∠ACB
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACO=∠ACB,
∵EF∥BC
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO,
∴△EOB、△OBC△FOC都是等腰三角形,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,
∴∠AEF=∠AFE,
∴△AEF是等腰三角形,

圖中是等腰三角形的有:、、、.

、、的關(guān)系是.理由如下:

、平分,

,

,

,,

,

.

22個(gè)

存在(1)的結(jié)論仍然成立.(證明過(guò)程同(1)).

3仍是等腰三角形,.理由如下:

同(1)可證得是等腰三角形.

,

,

平分,

,

,故是等腰三角形,

.

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(2)判斷線(xiàn)段AEBD的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(3)CD1,試求AED的面積.

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5

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