Question

【題目】綜合與實踐：

如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+x+4的圖象與x軸交于點B，點C（點B在點C的左邊），與y軸交于點A，連接AC，AB．

（1）求證：AO2=BOCO；

（2）若點N在線段BC上運動（不與點B，C重合），過點N作MN∥AC，交AB于點M，求當(dāng)△AMN的面積取得最大值時，直線AN的表達(dá)式．

（3）連接OM，在（2）的結(jié)論下，試判斷OM與AN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）y=﹣x+4；（3）OM2=AN．

【解析】試題分析：（1）由分別令求得的坐標(biāo)，即可證明.

（2）設(shè)點則由NM∥AC，可求得 可用表示出的面積，則可用表示出的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時的值，即可求得N點的坐標(biāo)；進(jìn)而用待定系數(shù)法求得直線AN的表達(dá)式.
（3）由N點坐標(biāo)可求得M點為AB的中點，由直角三角形的性質(zhì)可得

在和中，可分別求得AB和的長，可求得的長度，從而可得到OM和的數(shù)量關(guān)系．

試題解析：（1）當(dāng)時， 整理得： 解得：

∴

令得：

∴

∴

∴

（2）設(shè)點 則

∵MN∥AC，

∵

∴當(dāng)時，即 的面積最大．

設(shè)直線AN的表達(dá)式為

將點A和N的坐標(biāo)代入得： 解得．

∴直線AN的表達(dá)式為

（3）

∴N為線段的中點．

∵MN∥AC，

∴M為AB的中點，

∴

∵

∴

∵

即OM與AN的數(shù)量關(guān)系是