Question

【題目】如圖，已知等邊三角形△ABC邊長(zhǎng)為a，等腰三角形△BDC中，∠BDC＝120，∠MDN＝60，角的兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，連結(jié)MN．則△AMN的周長(zhǎng)為( )

A.aB.2aC.3aD.4a

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)題目已知條件無(wú)法求出三條邊的長(zhǎng)，只能把三條邊長(zhǎng)用其它已知邊長(zhǎng)來(lái)表示，所以需要作輔助線，延長(zhǎng)AB至F，使BF=CN，連接DF，通過(guò)證明△BDF≌△CDN及△DMN≌△DMF，從而得出MN=MF，△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC的長(zhǎng)．

解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延長(zhǎng)AB至F，使BF=CN，連接DF，

在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC
∴Rt△BDF≌Rt△CDN（HL），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM為公共邊
∴△DMN≌△DMF（SAS），
∴MN=MF
∴△AMN的周長(zhǎng)是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=2a，
故選：B．