Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=+bx﹣4經(jīng)過(guò)A（﹣4，0），C（2，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線與y軸交點(diǎn)．判斷有幾個(gè)位置能夠使以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y=+x﹣4；(2) S=﹣4m；m=﹣2時(shí)S有最大值S=4；(3)（﹣4，4）或（，）或（，）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=+bx+c，然后把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)圖形的割補(bǔ)法，可得二次函數(shù)，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出第三象限內(nèi)二次函數(shù)的最值，然后即可得解；

（3）利用直線與拋物線的解析式表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，然后求出PQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等列出算式，然后解關(guān)于x的一元二次方程即可得解．

試題解析：（1）將A（﹣4，0），C（2，0）兩點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得

，

解得，

所以此函數(shù)解析式為：y=+x﹣4；

（2）∵M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在這條拋物線上，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，+m﹣4），

∴=×4×（+m﹣4）+×4×（﹣m）﹣×4×4=﹣4m=，

∵﹣4＜m＜0，

當(dāng)m=﹣2時(shí)，S有最大值為：S=﹣4+8=4，

答：S關(guān)于 m的函數(shù)關(guān)系式為S=﹣4m；m=﹣2時(shí)S有最大值S=4；

（3）∵點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，﹣a），

∵點(diǎn)P在拋物線上，且PQ∥y軸，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，+a﹣4），

∴PQ=﹣a﹣（+a﹣4）=﹣2a+4，

又∵OB=0﹣（﹣4）=4，

以點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴|PQ|=OB，

即|﹣2a+4|=4，

①﹣2a+4=4時(shí)，整理得，+4a=0，

解得a=0（舍去）或a=﹣4，

﹣a=4，

所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣4，4），

②﹣2a+4=﹣4時(shí)，整理得，+4a﹣16=0，

解得a=，

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）．

綜上所述，Q坐標(biāo)為（﹣4，4）或（，）或（，）時(shí)，使點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．