【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于任意的三個(gè)點(diǎn)A、B、C,給出如下定義:若矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行,且AB,C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上,則稱該矩形為點(diǎn)A,BC的“三點(diǎn)矩形”.在點(diǎn)A,BC的所有“三點(diǎn)矩形”中,若存在面積最小的矩形,則稱該矩形為點(diǎn)AB,C的“迷你三點(diǎn)矩形”.

如圖1,矩形DEFG,矩形IJCH都是點(diǎn)AB,C的“三點(diǎn)矩形”,矩形IJCH是點(diǎn)A,B,C的“迷你三點(diǎn)矩形”.

如圖2,已知M(41),N(-2,3),點(diǎn)P(m,n)

1)①若m1,n4,則點(diǎn)MN,P的“迷你三點(diǎn)矩形”的周長(zhǎng)為 ,面積為 ;

②若m1,點(diǎn)M,N,P的“迷你三點(diǎn)矩形”的面積為24,求n的值;

2)若點(diǎn)P在直線y-2x4上.當(dāng)點(diǎn)M,N,P的“迷你三點(diǎn)矩形”為正方形時(shí),直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1)①1818;②n的值為5;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【解析】

1)①根據(jù)迷你三點(diǎn)矩形的定義畫出圖形,再根據(jù)矩形的周長(zhǎng)和面積公式求解即可;

②先根據(jù)點(diǎn)MN的坐標(biāo)可得迷你三點(diǎn)矩形的一條邊的長(zhǎng),再根據(jù)矩形的面積公式可得另一條邊的長(zhǎng),由此即可得;

2)先根據(jù)迷你三點(diǎn)矩形的定義可得正方形的邊長(zhǎng),從而可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo),再代入直線求解即可得.

1)①如圖,畫出點(diǎn)M、N、P迷你三點(diǎn)矩形

則矩形的兩邊的長(zhǎng)分別為,

因此,矩形的周長(zhǎng)為,面積為

故答案為:1818;

點(diǎn)M,N,P迷你三點(diǎn)矩形的一條邊的長(zhǎng)為

點(diǎn)MN,P迷你三點(diǎn)矩形的面積為24,且點(diǎn)MN的縱坐標(biāo)之差為

點(diǎn)M,N,P迷你三點(diǎn)矩形的另一條邊的長(zhǎng)為,且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)N的縱坐標(biāo)或小于點(diǎn)M的縱坐標(biāo)

則有

解得

n的值為5;

2)由②知,點(diǎn)MN,P迷你三點(diǎn)矩形的一條邊的長(zhǎng)為

則點(diǎn)M,N,P迷你三點(diǎn)矩形為正方形時(shí),正方形的邊長(zhǎng)為6

同②的方法可得:

解得

點(diǎn)在直線

當(dāng)時(shí),,解得

當(dāng)時(shí),,解得

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

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【題目】《代數(shù)學(xué)》中記載,形如的方程,求正數(shù)解的幾何方法是:“如圖1,先構(gòu)造一個(gè)面積為的正方形,再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為的矩形,得到大正方形的面積為,則該方程的正數(shù)解為.”小聰按此方法解關(guān)于的方程時(shí),構(gòu)造出如圖2所示的圖形,已知陰影部分的面積為36,則該方程的正數(shù)解為(

A.6B.C.D.

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【題目】問題:已知方程,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.

解:設(shè)所求方程的根為y,則,所以

代入已知方程,得

化簡(jiǎn),得:

這種利用方程根的代替求新方程的方法,我們成為“換根法”,請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程要求:把所求方程化成一般形式;

(1)已知方程,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的相反數(shù).

(2)已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的倒數(shù).

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【題目】如圖1,已知直線,且之間的距離為,小明同學(xué)制作了一個(gè)直角三角形硬紙板,其中,.小明利用這塊三角板進(jìn)行了如下的操作探究:

(1)如圖1,若點(diǎn)在直線上,且.的度數(shù);

(2)若點(diǎn)在直線上,點(diǎn)之間(不含、),邊、與直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn).

①如圖2、的平分線交于點(diǎn).繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中,的度數(shù)是否變化?若不變,求出的度數(shù);若變化,請(qǐng)說明理由;

②如圖3,在繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中,設(shè),,求的取值范

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【題目】如圖,直線的解析表達(dá)式為,且x軸交于點(diǎn)D,直線經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)B,直線,交于點(diǎn)C

1)求直線的解析表達(dá)式;

2)求的面積;

3)在直線上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P,使得的面積等于面積,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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【題目】.如圖,一條生產(chǎn)線的流水線上依次有5個(gè)機(jī)器人,它們站立的位置在數(shù)軸上依次用點(diǎn)A1A2,A3,A4,A5表示.

1)若原點(diǎn)是零件的供應(yīng)點(diǎn),5個(gè)機(jī)器人分別到供應(yīng)點(diǎn)取貨的總路程是多少?

2)若將零件的供應(yīng)點(diǎn)改在A1,A3,A5中的其中一處,并使得5個(gè)機(jī)器人分別到達(dá)供應(yīng)點(diǎn)取貨的總路程最短,你認(rèn)為應(yīng)該在哪個(gè)點(diǎn)上?通過計(jì)算說明理由.

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【題目】如圖,在ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,DEABE,FAC上,且BD=DF

1)求證:CF=EB;

2)試判斷ABAFEB之間存在的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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【題目】計(jì)算

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(2)

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(4)

(5)

(6)

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(2)在(1)的條件下,求當(dāng)x為何值時(shí)PC//AB;

(3)如圖②,先將△DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E恰好落在AC邊上,在保持DE邊與AC邊完全重合的條件下,使△DEF沿著AC方向移動(dòng)當(dāng)△DEF移動(dòng)到什么位置時(shí),以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.

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