Question

如圖，△ABC的兩條中線BG、CD相交于點O，點E、F分別是BO、CO的中點．
（1）說明：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）連接AO，當(dāng)線段AO與BC滿足怎樣的位置關(guān)系時，四邊形DEFG為矩形？為什么？

Answer 1

分析：（1）由中位線定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于邊長BC的一半．分析到此，此題便可解答．
（2）連接OA，則AO∥ME∥DN；則OA和BC垂直，四邊形DEFG為矩形進而求出即可．

解答：證明：（1）△ABC的邊AC、AB上的中線BD、CE相交于點O，M、N分別是BO、CO的中點，
∴ED∥BC且ED=

1

2

BC，
MN∥BC且MN=

1

2

BC，
∴ED∥MN且ED=MN，
∴四邊形MNDE是平行四邊形．

（2）OA和BC垂直，四邊形DEFG為矩形，
理由如下：
連接OA并延長交BC于點F；
∵E，M分別是AB，BO中點，
∴AO∥ME∥DN，
當(dāng)△ABC為等腰三角形時，
∴AO⊥BC，
∵四邊形DEMN是平行四邊形，
∴EM⊥MN；
∴此時四邊形DEMN是矩形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定和三角形的中位線定理，三角形的中位線的性質(zhì)定理，為證明線段相等和平行提供了依據(jù)．