【題目】函數(shù)學習中,自變量取值范圍及相應的函數(shù)值范圍問題是大家關注的重點之一,請解決下面的問題.

(1)分別求出當2≤x≤4時,三個函數(shù):y=2x+1,y,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;

(2)若y的值不大于2,求符合條件的x的范圍;

(3)若y,ax≤2時既無最大值,又無最小值,求a的取值范圍;

(4)y=2(xm2+m﹣2,當2≤x≤4時有最小值為1,求m的值.

【答案】(1)對于y=2x+1,當x=2時,y最小=5;對于y,當x=2時,y最大=1;當x=4時,y最小;對于y=2(x﹣1)2+1,當x=2時,y最小=3,當x=4時,y最大=19;(2)x<0或x≥1;(3);(4)13.

【解析】

(1)根據(jù)k=2>0結合一次函數(shù)的性質即可得出:當2≤x≤4時,y=2x+1的最大值和最小值;根據(jù)二次函數(shù)的解析式結合二次函數(shù)的性質即可得出:當2≤x≤4時,y=2(x-1)2+1的最大值和最小值;

(2)令y=≤2,解之即可得出x的取值范圍;

(3)①當k>0時,如圖得當0<x≤2時,得到y=無最大值,有最小值,同理當a<0時,且a≤x<0時,得到y≤有最大值,無最小值,②當k<0時,如圖得當0<x≤2時,y=無最小值,有最大值,同理當a<0時,且a≤x<0時,y≤有最小值,無最大值,于是得到結論;

(4)分m<2、2≤m≤4m>4三種情況考慮,根據(jù)二次函數(shù)的性質結合當2≤x≤4時有最小值為1即可得出關于m的一元二次方程(一元一次方程),解之即可得出結論.

解:(1)y=2x+1k=2>0,

yx的增大而增大,

∴當x=2時,y最小=5;當x=4時,y最大=9.

yk=2>0,

∴在2≤x≤4中,yx的增大而減小,

∴當x=2時,y最大=1;當x=4時,y最小

y=2(x﹣1)2+1a=2>0,且拋物線的對稱軸為x=1,

∴當x=1時,y最小=1;但是2≤x≤4,所以當x=2時,y最小=3,當x=4時,y最大=19.

(2)令y≤2,

解得:x<0x≥1.

∴符合條件的x的范圍為x<0x≥1.

(3)①當k>0時,如圖,

0<x≤2時,y無最大值,有最小值,同理當a<0時,且ax<0時,y有最大值,無最小值,

②當k<0時,如圖,

0<x≤2時,y無最小值,有最大值,同理當a<0時,且ax<0時,y有最小值,無最大值,∴當k<0,a<0時,此時,y既無最大值,又無最小值,綜上所述,a的取值范圍是a<0;

(4)①當m<2時,有2(2﹣m2+m﹣2=1,

解得:m1=1,m2(舍去);

②當2≤m≤4時,有m﹣2=1,

解得:m3=3;

③當m>4時,有2(4﹣m2+m﹣2=1,

整理得:2m2﹣15m+29=0.

∵△=(﹣15)2﹣4×2×29=﹣7,無解.

m的值為13.

①當k>0時,如圖,

0<x≤2時,y無最大值,有最小值,同理當a<0時,且ax<0時,y有最大值,無最小值,

②當k<0時,如圖得當0<x≤2時,y無最小值,有最大值,

同理當a<0時,且ax<0時,y有最小值,無最大值,

∴當k<0,a<0時,此時,y既無最大值,又無最小值,

綜上所述,a的取值范圍是a<0;

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