Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心做菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由．
（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把x=0代入得：y=﹣4．

∴C（0，﹣4）．

設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣8），將點C的坐標代入得：﹣16a=﹣4，解得：a= ．

∴拋物線的解析式為y= （x+2）（x﹣8）即y= x2﹣ x﹣4．

（2）解：由菱形的對稱性可知：點D的坐標為（0，4）．

設直線BD的解析式為y=kx+4，將點B的坐標代入得：8k+4=0，解得：k=﹣ ．

∴直線BD的解析式為y=﹣ x+4．

∵l⊥x軸，

∴點M、Q的坐標分別是（m，﹣ m+4），（m， m2﹣ m﹣4）．

當MQ=DC時，四邊形CQMD為平行四邊形．

∴（﹣ m+4）﹣（ m2﹣ m﹣4）=8，化簡得：m2﹣4m=0，解得m=4或m=0（舍去）．

此時，四邊形CQBM是平行四邊形．

∵四邊形CQBM為平行四邊形，

∴MD∥CQ，MD=CQ．

∵m=4時，M的坐標為（4，2），

∴M為BD的中點，

∴MD=MB．

∴CQ=MB，

又∵MB∥CQ，

∴四邊形CQBM為平行四邊形．

（3）解：設QB的解析式為y=k1x+b1，將點B和點Q的坐標代入得： ，

解得：k1= = （m+2）．

設QD的解析式為y=k2x+4，將點Q的坐標代入得mk2+4= m2﹣ m﹣4，

解得：k2= ．

當∠QBD=90°時，﹣ × （m+2）=﹣1，解得：m=6．

∴Q（6，﹣4）．

當∠QDB=90°時，﹣ × =﹣1，整理得：m2﹣14m﹣32=0，解得m=﹣2或m=16（舍去）．

∴Q（﹣2，0）．

以M為圓心以MB為半徑作⊙M，⊙M與拋物線沒有公共點，

∴∠DQB≠90°．

綜上所述，點Q的坐標為（6，﹣4）或（﹣2，0）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法，把A、B兩點坐標代入解析式，求出a、b即可；（2）要使四邊形CQMD是平行四邊形，須MQ=DC=8，即（﹣ m+4）﹣（ m2﹣ m﹣4）=8，構建方程，可求出m;（3）若△BDQ為直角三角形，須分類討論：∠QBD=90或°∠QDB=90°，利用兩直線的斜率積為-1構建關于m的方程，求出m,當以M為圓心以MB為半徑作⊙M，⊙M與拋物線沒有公共點，因此∠DQB≠90°.