Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（4，0），B（0，），把一個(gè)直角三角尺DEF放在△OAB內(nèi)，使其斜邊FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動(dòng)．其中∠EFD=30°，ED=2，點(diǎn)G為邊FD的中點(diǎn)．

（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，求經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)（k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑動(dòng)的過程中，經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能否同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)F？如果能，求出此時(shí)反比例函數(shù)的解析式；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

∵A（4，0），B（0，），

∴，

解得：，

∴直線AB的解析式為：；

（2）

解：

∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，

∴EF=，DF=4，

∵點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，

∴D（4，0），

∴F（2，），

∴G（3，），

∵反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)G，

∴k=，

∴反比例函數(shù)的解析式為：；

（3）

解：

經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)F；理由如下：

∵點(diǎn)F在直線AB上，

∴設(shè)F（t，），

又∵ED=2，

∴D（t+2，），

∵點(diǎn)G為邊FD的中點(diǎn)．

∴G（t+1，），

若過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點(diǎn)F，

設(shè)解析式為，

則，

整理得：（）（t+1）=（）t，

解得：t=，

∴m=，

∴經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)F，這個(gè)反比例函數(shù)解析式為：.

【解析】（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，組成方程組，解方程組求出k、b的值即可；
（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出點(diǎn)D坐標(biāo)，得出點(diǎn)F、G坐標(biāo)，把點(diǎn)G坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出k即可；
（3）設(shè)F（t，﹣t+4），得出D、G坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)G和F的反比例函數(shù)解析式為y=，用待定系數(shù)法求出t、m，即可得出反比例函數(shù)解析式．