Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為邊AB所在直線上一點(diǎn)，連結(jié)CP，M為線段CP的中點(diǎn)，若滿足∠ACP=∠MBA，則稱點(diǎn)P為△ABC的“好點(diǎn)”.

（1）如圖2，當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，命題“線段AB上不存在“好點(diǎn)”為 （填“真”或“假”）命題，并說明理由；

（2）如圖3，P是△ABC的BA延長(zhǎng)線的一個(gè) “好點(diǎn)”，若PC=4，PB=5，求AP的值；

（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，點(diǎn)P是△ABC的“好點(diǎn)”，若AC=4，AB=5,求AP的值.

Answer 1

【答案】（1）真；（2）；（3）或或.

【解析】

（1）先根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可知MP=MB，從而∠MPB=∠MBP，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)說明即可；

（2）先證明△PAC∽△PMB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

（3）分三種情況求解：P為線段AB上的“好點(diǎn)”， P為線段AB延長(zhǎng)線上的“好點(diǎn)”， P為線段BA延長(zhǎng)線上的“好點(diǎn)”.

(1)真 .

理由如下：如圖，當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，M為PC中點(diǎn)，BM=PM，

則∠MPB=∠MBP>∠ACP，

所以在線段AB上不存在“好點(diǎn)”；

（2）∵P為BA延長(zhǎng)線上一個(gè)“好點(diǎn)”；

∴∠ACP=∠MBP；

∴△PAC∽△PMB；

∴即；

∵M為PC中點(diǎn)，

∴MP=2；

∴；

∴.

(3)第一種情況，P為線段AB上的“好點(diǎn)”，則∠ACP=∠MBA，找AP中點(diǎn)D，連結(jié)MD；

∵M為CP中點(diǎn)；

∴MD為△CPA中位線；

∴MD=2，MD//CA；

∴∠DMP=∠ACP=∠MBA；

∴△DMP∽△DBM；

∴DM2=DP·DB即4= DP·（5DP）；

解得DP=1，DP=4（不在AB邊上，舍去；）

∴AP=2

第二種情況（1），P為線段AB延長(zhǎng)線上的“好點(diǎn)”，則∠ACP=∠MBA，找AP中點(diǎn)D，此時(shí)，D在線段AB上，如圖，連結(jié)MD；

∵M為CP中點(diǎn)；

∴MD為△CPA中位線；

∴MD=2，MD//CA；

∴∠DMP=∠ACP=∠MBA；

∴△DMP∽△DBM

∴DM2=DP·DB即4= DP·（5DA）= DP·（5DP）；

解得DP=1（不在AB延長(zhǎng)線上，舍去），DP=4

∴AP=8；

第二種情況（2），P為線段AB延長(zhǎng)線上的“好點(diǎn)”，找AP中點(diǎn)D，此時(shí)，D在AB延長(zhǎng)線上，如圖，連結(jié)MD；

此時(shí)，∠MBA>∠MDB>∠DMP=∠ACP,則這種情況不存在，舍去；

第三種情況，P為線段BA延長(zhǎng)線上的“好點(diǎn)”，則∠ACP=∠MBA，

∴△PAC∽△PMB；

∴

∴BM垂直平分PC則BC=BP= ;

∴

∴綜上所述，或或；