【題目】已知:如圖1.正方形ABCD,過(guò)點(diǎn)A作∠EAF=90°,兩邊分別交直線BC于點(diǎn)E,交線段CD于點(diǎn)F,GAE中點(diǎn),連接BG

(1)求證:ABE≌△ADF

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)GBG的垂線交對(duì)角線AC于點(diǎn)H,求證:GH=GB;

(3)如圖3,連接HF,若CH=3AH,AD=2,求線段HF的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)5.

【解析】試題分析:(1)如圖1中,由△ABE≌△ADF,推出∠AFD=∠E,由AG=GE,推出GB=GE=GA,推出∠E=∠GBE=∠AFD,由∠GBE+∠GBC=180°,推出∠AFD+∠GBC=180°即可;

(2)如圖2中,連接BDACO,連接OG、BH、取BH的中點(diǎn)K,連接GK、OK.只要證明O、H、G、B四點(diǎn)共圓,由AG=GE,AO=OC.推出OG∥CE,推出∠GOB=∠OBC=45°,即可解決問(wèn)題;

(3)如圖3中,如圖3中,設(shè)OGABT,GHABP.,作HM⊥DFM.只要證明∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO,推出tan∠EAB=tan∠HBO=,由CH=3AH,OA=OC=OB,推出tan∠EAB=tan∠HBO==,BE=DF=,在RtHMF中,利用勾股定理即可解決問(wèn)題.

試題解析:(1)如圖1,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠AEF=90°,

∴∠EAB=∠DAF,∵∠ABE=∠ADF=90°,∴△ABE≌△ADF,∴∠AFD=∠E,

∵AG=GE,∴GB=GE=GA,∴∠E=∠GBE=∠AFD,∵∠GBE+∠GBC=180°,∴∠AFD+∠GBC=180°;

(2)如圖2,連接BD交AC于O,連接OG、BH、取BH的中點(diǎn)K,連接GK、OK,

∵∠BGH=∠BOH=90°,BK=KH,∴GK=KH=OK=KB,∴O、H、G、B四點(diǎn)共圓,

∵AG=GE,AO=OC,∴OG∥CE,

∴∠GOB=∠OBC=45°,∴∠GOH=∠GBH=45°,∵∠BGH=90°,

∴∠GBH=∠GHB=45°, ∴GH=GB;

(3)如圖3,設(shè)OG交AB于T,GH交AB于P,作HM⊥DF于M,

∵OG∥EC,AB⊥CE,∴OG⊥AB,易證∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO,

∴tan∠EAB=tan∠HBO=,∵CH=3AH,OA=OC=OB,∴tan∠EAB=tan∠HBO==,

∵AB=AD=2,∴BE=DF=,在Rt△HMF中,易證FM=,HM=,

∴HF==5.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)甲、乙兩種貨車每輛可裝多少噸貨物?

2)若貨主需要租用該公司的甲種貨車8輛,乙種貨車6輛,剛好運(yùn)完這批貨物,如按每噸付運(yùn)費(fèi)50元,則貨主應(yīng)付運(yùn)費(fèi)總額為多少元?

3)若貨主共有20噸貨,計(jì)劃租用該公司的貨車正好(每輛車都滿載)把這批貨運(yùn)完,該汽車公司共有哪幾種運(yùn)貨方案?

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1)根據(jù)圖示填寫下表:

班級(jí)

中位數(shù)(分)

眾數(shù)(分)

平均數(shù)(分)

愛國(guó)班

85

求知班

100

85

2)結(jié)合兩班復(fù)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個(gè)班級(jí)的復(fù)賽成績(jī)比較好?

3)已知愛國(guó)班復(fù)賽成績(jī)的方差是70,請(qǐng)求出求知班復(fù)賽成績(jī)的方差,并說(shuō)明哪個(gè)班成績(jī)比較穩(wěn)定?

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(1)當(dāng)的度數(shù)是多少時(shí),四邊形ADFE為菱形,請(qǐng)說(shuō)明理由:

(2)當(dāng)AB= 時(shí),四邊形ACBF為正方形(請(qǐng)直接寫出)

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①a-b+c>0;②3a+b=0;

③b2=4a(c-n);

④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(  )

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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