Question

【題目】如圖，已知ABCD的三個頂點A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作ABCD關于直線AD的對稱圖形AB1C1D
（1）若m=3，試求四邊形CC1B1B面積S的最大值；
（2）若點B1恰好落在y軸上，試求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵ABCD與四邊形AB1C1D關于直線AD對稱，

∴四邊形AB1C1D是平行四邊形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，

∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，

∴四邊形BCEF、B1C1EF是平行四邊形，

∴SBCEF=SBCDA=SB1C1DA=SB1C1EF，

∴SBCC1B1=2SBCDA．

∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m=3，

∴AB=m﹣n=3﹣n，OD=2n，

∴SBCDA=ABOD=（3﹣n）2n=﹣2（n2﹣3n）=﹣2（n﹣ ）2+ ，

∴SBCC1B1=2SBCDA=﹣4（n﹣ ）2+9．

∵﹣4＜0，∴當n= 時，SBCC1B1最大值為9；

（2）解：當點B1恰好落在y軸上，如圖2，

∵DF⊥BB1，DB1⊥OB，

∴∠B1DF+∠DB1F=90°，∠B1BO+∠OB1B=90°，

∴∠B1DF=∠OBB1．

∵∠DOA=∠BOB1=90°，

∴△AOD∽△B1OB，

∴ = ，

∴ = ，

∴OB1= ．

由軸對稱的性質可得AB1=AB=m﹣n．

在Rt△AOB1中，

n2+（ ）2=（m﹣n）2，

整理得3m2﹣8mn=0．

∵m＞0，∴3m﹣8n=0，

∴ = ．

【解析】（1）如圖1，易證SBCEF=SBCDA=SB1C1DA=SB1C1EF ， 從而可得SBCC1B1=2SBCDA=﹣4（n﹣ ）2+9，根據二次函數的最值性就可解決問題；（2）如圖2，易證△AOD∽△B1OB，根據相似三角形的性質可得OB1= ，然后在Rt△AOB1中運用勾股定理就可解決問題．