Question

如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，點(diǎn)E在AB上，F(xiàn)是線段BD的中點(diǎn)，連接CE、FE．
（1）請(qǐng)你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）；
（2）將圖1中的△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使△AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連接BD，取BD的中點(diǎn)F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）將圖1中的△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3），連接BD，取BD的中點(diǎn)F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．

Answer 1

（1）如圖1，連接CF，線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=

2

FE；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．
如圖2，連接CF，延長(zhǎng)EF交CB于點(diǎn)G，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF=∠GBF，
又∵∠EFD=∠GFB，DF=BF，


∴△EDF≌△GBF，
∴EF=GF，BG=DE=AE，
∵AC=BC，
∴CE=CG，
∴∠EFC=90°，CF=EF，
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴∠CEF=45度，
∴CE=

2

FE；

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．
如圖3，取AD的中點(diǎn)M，連接EM，MF，取AB的中點(diǎn)N，連接FN、CN、CF，
∵DF=BF，
∴FM∥AB，且FM=

1

2

AB，
∵AE=DE，∠AED=90°，
∴AM=EM，∠AME=90°，
∵CA=CB，∠ACB=90°
∴CN=AN=

1

2

AB，∠ANC=90°，
∴MF∥AN，F(xiàn)M=AN=CN，
∴四邊形MFNA為平行四邊形，
∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA，
∴∠EMF=∠FNC，
∴△EMF≌△FNC，



∴FE=CF，∠EFM=∠FCN，
由MF∥AN，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°，
∴∠FCN+∠PFC=90°，
∴∠EFM+∠PFC=90°，
∴∠EFC=90°，
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴CE=

2

FE．