Question

【題目】已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．

（1）如圖1，E，G分別是OB，OC上的點，CE與DG的延長線相交于點F．若DF⊥CE，求證：OE=OG；

（2）如圖2，H是BC上的點，過點H作EH⊥BC，交線段OB于點E，連結(jié)DH交CE于點F，交OC于點G．若OE=OG，

①求證：∠ODG=∠OCE；

②當AB=1時，求HC的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）①證明見解析；②

【解析】試題分析：（1）欲證明OE=OG，只要證明△DOG≌△COE（ASA）即可；

（2）①欲證明∠ODG=∠OCE，只要證明△ODG≌△OCE即可；

②設(shè)CH=x，由△CHE∽△DCH，可得，即HC2=EHCD，由此構(gòu)建方程即可解決問題；

試題解析：（1）證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD=OC，∴∠DOG=∠COE=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC+∠ODG=90°，∴∠ODG=∠OCE，∴△DOG≌△COE（ASA），∴OE=OG．

（2）①證明：如圖2中，∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°OD=OC，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG=∠OCE．

②解：設(shè)CH=x，∵四邊形ABCD是正方形，AB=1，∴BH=1﹣x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH=∠EBH=45°，∴EH=BH=1﹣x，∵∠ODG=∠OCE，∴∠BDC﹣∠ODG=∠ACB﹣∠OCE，∴∠HDC=∠ECH，∵EH⊥BC，∴∠EHC=∠HCD=90°，∴△CHE∽△DCH，∴，∴HC2=EHCD，∴x2=（1﹣x）1，解得x=或（舍棄），∴HC=．