Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+3x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，8），直線l經(jīng)過原點(diǎn)O，與拋物線的一個交點(diǎn)為D（6，8）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與直線l交于點(diǎn)E，點(diǎn)T為x軸上方的拋物線上的一個動點(diǎn)．
①當(dāng)∠TEC=∠TEO時，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
②直線BT與y軸交于點(diǎn)P，與直線l交于點(diǎn)Q，當(dāng)OP=OQ時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+3x+8

（2）

解：①∵y=﹣ x2+3x+8=﹣ （x﹣3）2+ ，

∴拋物線對稱軸為x=3，

設(shè)直線l解析式為y=kx，

把D（6，8）代入可得8=6k，解得k= ，

∴直線l的解析式為y= x，

∴E（3，4），

∵O（0，0），C（0，8），

∴OE=CE，

∴點(diǎn)E在線段OC的垂直平分線上，

∵∠TEC=∠TEO，

∴TE∥x軸，

∴T的縱坐標(biāo)為4，

在y=﹣ x2+3x+8中，令y=4可得4=﹣ x2+3x+8，解得x=3+ 或x=3﹣ ，

∴T的坐標(biāo)為（3+ ，4）或（3﹣ ，4）；

②在y=﹣ x2+3x+8中，令y=0可得0=﹣ x2+3x+8，解得x=﹣2或x=8，

∴B（8，0），

∵E（3，4），

∴OE=5，

如圖2，過點(diǎn)E作BP的平行線，交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，

∴ = ，

∵OP=OQ，

∴OF=OE=5，

∴F（0，5），

∴可設(shè)直線PB的解析式為y=kx+5，

把E點(diǎn)坐標(biāo)代入可得4=3k+5，解得k=﹣ ，

∴直線EF的解析式為y=﹣ x+5，

∴可設(shè)直線PB的解析式為y=﹣ x+m，

把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得0=﹣ ×8+m，解得m= ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ）

【解析】（1）由C、D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）①可先求得拋物線的對稱軸和直線l的解析式，則可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，由條件可證得TE∥x軸，則可求得T點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式，可求得T點(diǎn)坐標(biāo)；②過E作BP的平行線，交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，利用平行線分線段成比例可求得OF=OE，可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得直線EF的解析式，則可設(shè)出直線PB的解析式，把B點(diǎn)代入可求得直線PB解析式，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．