【題目】如圖，四邊形中，，，，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得 ，連接 ，．

（1）求證：≌；

（2）求證：；

（3）若，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)等式的基本性質(zhì)可得，然后利用SAS即可證出≌；

（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和全等三角形的性質(zhì)可得，從而求出∠CBE=90°，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)等邊三角形的判定及性質(zhì)可得，從而證出結(jié)論；

（3）如圖，設(shè)為滿足條件的點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得，連接，，

，，， DB，先利用SAS證出≌，從而得出，∠AQD=∠AFB，然后證出為等邊三角形，△ADB為等邊三角形，從而得出， DB=AB=2，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可得，根據(jù)四點(diǎn)共圓證出點(diǎn)的路徑為過、、三點(diǎn)的圓上，求出圓心角和半徑即可求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．

證明：（1）∵

∴

∴

在和中

∴≌

（2）在四邊形中

∵≌

∴，

∴

∴

∴

又∵，

∴△AEC為等邊三角形

∴

∴

（3）如圖，設(shè)為滿足條件的點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得，連接，，

，，， DB．

∵

∴

∴

在和中

∴≌

∴，∠AQD=∠AFB，

∵，AQ=AF，∠DAB=60°，AD=AB

∴為等邊三角形，△ADB為等邊三角形

∴， DB=AB=2

∵

∴

∴

∴

∵∠BCD=30°

∴∠DQB＋∠BCD=180°

∴點(diǎn)的路徑為過、、三點(diǎn)的圓上

設(shè)圓心為，連接OD、OB

則，

∴△OBD為等邊三角形

∴，

∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一家游泳館的游泳收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為30元/次，若購(gòu)買會(huì)員年卡，可享受如下優(yōu)惠：

會(huì)員年卡類型

辦卡費(fèi)用（元）

每次游泳收費(fèi)（元）

A 類

50

25

B 類

200

20

C 類

400

15

例如，購(gòu)買A類會(huì)員年卡，一年內(nèi)游泳20次，消費(fèi)50+25×20＝550元，若一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)介于40～50次之間，則最省錢的方式為（　　）

A.購(gòu)買A類會(huì)員卡B.購(gòu)買B類會(huì)員年卡

C.購(gòu)買C類會(huì)員年卡D.不購(gòu)買會(huì)員年卡

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，弦PB與CD交于點(diǎn)F，且FC＝FB．

（1）求證：PD∥CB；

（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的長(zhǎng)度．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（1）某學(xué)校“智慧方園”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目：

如圖（1），在中，點(diǎn)在線段上，，，，，求的長(zhǎng)．經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，通過構(gòu)造就可以解決問題，如圖（2）．請(qǐng)回答：______．

（2）求的長(zhǎng)．

（3）請(qǐng)參考以上解決思路，解決問題：如圖（3），在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，，，求的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)為長(zhǎng)為5的線段上一點(diǎn)，且，過作于，且，以為鄰邊作矩形，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，優(yōu)弧交于，交于，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為

（1）若扇形的面積為，則的度數(shù)為_______．

（2）連接，判斷與扇形所在圓的位置關(guān)系，并說明理由．

（3）設(shè)為直線上一點(diǎn)，沿所在直線折疊矩形，若折疊后所在的直線與扇形所在的相切，求的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，，．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為的與的一邊相切時(shí)，的長(zhǎng)為____________．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】規(guī)定：[x]表示不大于x 的最整數(shù)，(x) 表示不小于x的最小整數(shù)，[x) 表示最接近x的整數(shù)（x≠n+0.5，n為整數(shù)），例如：[2.3]=2，(2.3)=3，[2.3)=2，則下列說法正確的是__________（寫出所有正確說法）.

①當(dāng)x=1.7時(shí)，[x]+(x)+[x)=6；

②當(dāng)x=-2.1時(shí)，[x]+(x)+[x)=-7；

③方程4[x]+3(x)+[x)=11的解為1<x<1.5；

④當(dāng)-1<x<1時(shí), 函數(shù)y=[x]+(x)+x 的圖像y=4x 的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).

【答案】②③

【解析】分析：（1）根據(jù)題目中給的計(jì)算方法代入計(jì)算后判定即可；（2）根據(jù)題目中給的計(jì)算方法代入計(jì)算后判定即可；（3）根據(jù)題目中給的計(jì)算方法代入計(jì)算后判定即可；（4）結(jié)合x的取值范圍，分類討論，利用題目中給出的方法計(jì)算后判定即可.

詳解：

①當(dāng)x=1.7時(shí)，

[x]+（x）+[x）

=[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+2+2=5，故①錯(cuò)誤；

②當(dāng)x=﹣2.1時(shí)，

[x]+（x）+[x）

=[﹣2.1]+（﹣2.1）+[﹣2.1）

=（﹣3）+（﹣2）+（﹣2）=﹣7，故②正確；

③當(dāng)1＜x＜1.5時(shí)，

4[x]+3（x）+[x）

=4×1+3×2+1

=4+6+1

=11，故③正確；

④∵﹣1＜x＜1時(shí)，

∴當(dāng)﹣1＜x＜﹣0.5時(shí)，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，

當(dāng)﹣0.5＜x＜0時(shí)，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，

當(dāng)x=0時(shí)，y=[x]+（x）+x=0+0+0=0，

當(dāng)0＜x＜0.5時(shí)，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，

當(dāng)0.5＜x＜1時(shí)，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，

∵y=4x，則x﹣1=4x時(shí)，得x=；x+1=4x時(shí)，得x=；當(dāng)x=0時(shí)，y=4x=0，

∴當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，函數(shù)y=[x]+（x）+x的圖象與正比例函數(shù)y=4x的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故④錯(cuò)誤，

故答案為：②③．

點(diǎn)睛：本題是閱讀理解題，前三問比較容易判定，根據(jù)題目所給的方法判定即可；第四問較難，結(jié)合x的取值范圍分情況討論即可.

【題型】填空題
【結(jié)束】
19

【題目】先化簡(jiǎn)再求值： ，其中， .

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年11月5日，第二屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)（The 2nd China International lmport Expo）在上海國(guó)家會(huì)展中心開幕.本次進(jìn)博會(huì)將共建開放合作、創(chuàng)新共享的世界經(jīng)濟(jì)，見證海納百川的中國(guó)胸襟，詮釋兼濟(jì)天下的責(zé)任擔(dān)當(dāng).小滕、小劉兩人想到四個(gè)國(guó)家館參觀：.中國(guó)館；.俄羅斯館；.法國(guó)館；.沙特阿拉伯館.他們各自在這四個(gè)國(guó)家館中任意選擇一個(gè)參觀，每個(gè)國(guó)家館被選擇的可能性相同.

（1）求小滕選擇.中國(guó)館的概率；

（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求小滕和小劉恰好選擇同一國(guó)家館的概率.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM、PN、MN，則下列結(jié)論：①PM＝PN；②；③若∠ABC＝60°，則△PMN為等邊三角形；④若∠ABC＝45°，則BN＝PC．其中正確的是（　　）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

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同步練習(xí)冊(cè)答案