精英家教網(wǎng)如圖，給定銳角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的兩條高，過點(diǎn)C作△ABC的外接圓的切線l，過點(diǎn)D，E分別作l的垂線，垂足分別為F，G．試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論．
分析：由于l是切線，利用弦切角定理可得∠FCD=∠EAB，而∠DFC=∠BEA=90°，可證Rt△FCD∽R(shí)t△EAB，那么
有
DF
CD
=
BE
AB
，同理可得EG=AD•
CE
AB
，∠ACB既在△BCE，又在△ACD中，那么易得tan∠ACB=
AD
CD
=
BE
CE
，即BE•CD=AD•CE，從而可證DF=EG．
解答：解：結(jié)論是DF=EG．
∵∠FCD=∠EAB，∠DFC=∠BEA=90°，
∴Rt△FCD∽R(shí)t△EAB，
∴
DF
CD
=
BE
AB
，
∴DF=BE•
CD
AB
，
同理可得EG=AD•
CE
AB
，
又∵tan∠ACB=
AD
CD
=
BE
CE
，
∴BE•CD=AD•CE，
∴DF=EG．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了弦切角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、正切概念．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解決下面問題：
如圖，在△ABC中，∠A是銳角，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=
12
∠A，BE與CD相交于點(diǎn)O，探究BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

小新同學(xué)是這樣思考的：
在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，有這樣的經(jīng)驗(yàn)：假如△ABC是等腰三角形，那么在給定一組對(duì)應(yīng)條件，如圖a，BE，CD分別是兩底角的平分線（或者如圖b，BE，CD分別是兩條腰的高線，或者如圖c，BE，CD分別是兩條腰的中線）時(shí)，依據(jù)圖形的軸對(duì)稱性，利用全等三角形和等腰三角形的有關(guān)知識(shí)就可證得更多相等的線段或相等的角．這個(gè)問題也許可以通過添加輔助線構(gòu)造軸對(duì)稱圖形來解決．請(qǐng)參考小新同學(xué)的思路，解決上面這個(gè)問題．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

解決下面問題：
如圖，在△ABC中，∠A是銳角，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=數(shù)學(xué)公式∠A，BE與CD相交于點(diǎn)O，探究BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
作業(yè)寶
小新同學(xué)是這樣思考的：
在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，有這樣的經(jīng)驗(yàn)：假如△ABC是等腰三角形，那么在給定一組對(duì)應(yīng)條件，如圖a，BE，CD分別是兩底角的平分線（或者如圖b，BE，CD分別是兩條腰的高線，或者如圖c，BE，CD分別是兩條腰的中線）時(shí)，依據(jù)圖形的軸對(duì)稱性，利用全等三角形和等腰三角形的有關(guān)知識(shí)就可證得更多相等的線段或相等的角．這個(gè)問題也許可以通過添加輔助線構(gòu)造軸對(duì)稱圖形來解決．請(qǐng)參考小新同學(xué)的思路，解決上面這個(gè)問題．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽河南賽區(qū)預(yù)測(cè)卷（商丘市外國(guó)語中學(xué)）（解析版） 題型：解答題

如圖，給定銳角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的兩條高，過點(diǎn)C作△ABC的外接圓的切線l，過點(diǎn)D，E分別作l的垂線，垂足分別為F，G．試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（江西賽區(qū)）預(yù)賽試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，給定銳角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的兩條高，過點(diǎn)C作△ABC的外接圓的切線l，過點(diǎn)D，E分別作l的垂線，垂足分別為F，G．試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論．

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