【題目】已知:正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AFAEAD),連接DEBF,PDE的中點(diǎn),連接AP。將AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

1)如圖①,當(dāng)AEF的頂點(diǎn)E、F恰好分別落在邊AB、AD時(shí),則線段AP與線段BF的位置關(guān)系為 ,數(shù)量關(guān)系為 。

2)當(dāng)AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置時(shí),證明:第(1)問中的結(jié)論仍然成立。

3)若AB=3,AE=1,則線段AP的取值范圍為 。

【答案】(1)AP⊥BF,2)見解析;(3)1AP2

【解析】

1)根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得 ,即△APD為等腰三角形推出∠DAP=∠EDA,可證△AED≌△ABF可得∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED由三角形內(nèi)角和可得∠AOF=90°即AP⊥BF由全等可得

2)延長APQ點(diǎn)使得DQ∥AE,PA延長線交于G點(diǎn),利用P是DE中點(diǎn),構(gòu)造△AEP≌△PDQ可得∠EAP=∠PQD,DQ=AE=FA可得∠QDA=∠FAB可證△FAB≌△QDA 得到∠AFB=∠PQD=∠EAP,AQ=FB由三角形內(nèi)角和可得∠FAG=90°得出AG⊥FB即AP⊥BF由全等可得

3)由于 即求BF的取值范圍,當(dāng)BF最小時(shí),即F在AB上,此時(shí)BF=2,AP=1

當(dāng)BF最大時(shí),即F在BA延長線上,此時(shí)BF=4,AP=2可得1AP2

1

根據(jù)直角三角形斜邊中線定理有AP是△AED中線可得 ,即△APD為等腰三角形。

∴∠DAP=∠EDA

又AE=AF,∠BAF=∠DAE=90°,AB=AD

∴△AED≌△ABF

∴∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED

設(shè)AP與BF相交于點(diǎn)O

∴∠ABF+∠AFB=90°=∠DAP+∠AFB

∴∠AOF=90°即AP⊥BF

故答案為:AP⊥BF,

2

延長APQ點(diǎn)使得DQ∥AE,PA延長線交于G點(diǎn)

∴∠EAP=∠PQD,∠AEP=∠QDP

∵P是DE中點(diǎn),

∴EP=DP

∴△AEP≌△PDQ

則∠EAP=∠PQD,DQ=AE=FA

∠QDA=180°-(∠PAD+∠PQD)

=180°-∠EAD

而∠FAB=180°-∠EAD,則∠QDA=∠FAB

∵AF=DQ,∠QDA=∠FAB ,AB=AD

∴△FAB≌△QDA

∴∠AFB=∠PQD=∠EAP,AQ=FB

而∠EAP+∠FAG=90°

∴∠AFB+∠FAG=90°

∴∠FAG=90°

∴AG⊥FB

即AP⊥BF

(3)∵

∴即求BF的取值范圍

BF最小時(shí),即F在AB上,此時(shí)BF=2,AP=1

BF最大時(shí),即F在BA延長線上,此時(shí)BF=4,AP=2

∴ 1AP2

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AC為對(duì)角線,延長CD至點(diǎn)E使CE=CA,連接AE。F為AB上一點(diǎn),且BF=DE,連接FC.

(1)若DE=1,CF=2,求CD的長。

(2)如圖2,點(diǎn)G為線段AE的中點(diǎn),連接BG交AC于H,若∠BHC+∠ABG=600,求證:AF+CE=AC.

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【題目】某同學(xué)上學(xué)期的數(shù)學(xué)歷次測(cè)驗(yàn)成績?nèi)缦卤硭荆?/span>

測(cè)驗(yàn)類別

平時(shí)測(cè)驗(yàn)

期中測(cè)驗(yàn)

期末測(cè)驗(yàn)

1

2

3

成績

100

106

106

105

110

(1)該同學(xué)上學(xué)期5次測(cè)驗(yàn)成績的眾數(shù)為 ,中位數(shù)為

(2)該同學(xué)上學(xué)期數(shù)學(xué)平時(shí)成績的平均數(shù)為 ;

(3)該同學(xué)上學(xué)期的總成績是將平時(shí)測(cè)驗(yàn)的平均成績、期中測(cè)驗(yàn)成績、期末測(cè)驗(yàn)成績按照2:3:5的比例計(jì)算所得,求該同學(xué)上學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)科的總評(píng)成績(結(jié)果保留整數(shù))。

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【題目】學(xué)生參加植樹造林,甲班每天比乙班多植5棵樹,甲班植80棵樹與乙班植70棵樹所用的天數(shù)相等,求甲、乙兩班每天各植樹多少棵。下面列式錯(cuò)誤的是

A.設(shè)甲班每天植樹x棵,則B.設(shè)乙班每天植樹x棵,則

C.設(shè)甲班在x天植樹80棵,則D.設(shè)乙班在x天植樹70棵,則

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【題目】某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體,當(dāng)溫度不變時(shí),氣球內(nèi)氣體的氣壓PkPa)是氣球體積Vm3)的反比例函數(shù),且當(dāng)V=0.8m3時(shí),P=120kPa。

1)求PV之間的函數(shù)表達(dá)式;

2)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于100kPa時(shí),氣球?qū)⒈,為確保氣球不爆炸,氣球的體積應(yīng)不小于多少?

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【題目】點(diǎn)D是等邊三角形ABC外一點(diǎn),且DBDC,∠BDC120°,將一個(gè)三角尺60°角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)D上,三角尺的兩邊DP,DQ分別與射線AB,CA相交于E,F兩點(diǎn).

(1)當(dāng)EFBC時(shí),如圖①所示,求證:EFBECF.

(2)當(dāng)三角尺繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時(shí),線段EF,BE,CF之間的上述數(shù)量關(guān)系是否成立?如果成立,請(qǐng)說明理由;如果不成立,寫出EF,BE,CF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

(3)當(dāng)三角尺繞點(diǎn)D繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時(shí),(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?如果不變化,直接寫出結(jié)論;如果變化,請(qǐng)直接寫出EF,BE,CF之間的數(shù)量關(guān)系.

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【題目】某市舉行知識(shí)大賽,A校、B校各派出5名選手組成代表隊(duì)參加決賽,兩校派出選手的決賽成績?nèi)鐖D所示.

(1)根據(jù)圖示填寫下表:

平均數(shù)/

中位數(shù)/

眾數(shù)/

A

______

85

______

B

85

______

100

(2)結(jié)合兩校成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個(gè)學(xué)校的決賽成績較好;

(3)計(jì)算兩校決賽成績的方差,并判斷哪個(gè)學(xué)校代表隊(duì)選手成績較為穩(wěn)定.

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