閱讀下列材料，并解決后面的問題，在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，則
（1）過點A作AD⊥BC于D（如圖1），
則在Rt△ABD中，AD=
 
；（限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素來表示）
在Rt△ACD中，AD=
 
；
∴
 
=
 

∴
 
=
 

同理最后可得，
 
=
 
=
 
；
（2）用尺規(guī)畫△ABC的外接圓⊙O，半徑為r（圖2），請你另用不同的方法證明以上結論；并寫出上述結論與△ABC外接圓直徑的關系．
（3）應用：△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，b=
2
，則a=
 
，外接圓半徑r=
 
．
精英家教網(wǎng)
分析：（1）根據(jù)正弦的定義寫出，然后再等量代換進行整理；
（2）過點C作直徑交⊙O于點D，連接BD，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠D=∠A，直徑所對的圓周角是直角可得∠DBC=90°，在Rt△BDC中表示出sinD，也就是sinA，然后代入
a
sinA
整理即可，同理可證其它兩個也成立；
（3）代入上述結論計算即可．
解答：（1）解：AD=c•sinB，
AD=b•sinC，
c•sinB=b•sinC，
b
sinB
=
c
sinC
，
同理可得：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
；

（2）證明：如圖，點C作直徑CD交⊙O于點D，連接BD，精英家教網(wǎng)
∴∠A=∠D（同弧所對的圓周角相等），
∠DBC=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴sinA=sinD，sinD=
a
2r
，
∴
a
sinA
=
a
a
2r
=2r，
同理可證：
b
sinB
=2r，
c
sinC
=2r，
∴
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2r；

（3）解：∵
a
sinA
=
b
sinB
，∠A=30°，∠B=45°，b=
2
，
∴
a
sin30°
=
2
sin45°
，
解得a=
2
×
1
2
2
2
=1，
∵
b
sinB
=2r，
∴
2
sin45°
=2r，
解得r=1，
故答案為：a=1，r=1．
點評：本題考查了解直角三角形，主要利用了正弦的定義，（2）的證明作出輔助性，構造出以直徑為斜邊的直角三角形是解題的關鍵，也是難點，希望同學們要多動腦筋，從題目的條件與結論入手考慮問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

精英家教網(wǎng)閱讀下列材料，并解決后面的問題．
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c．過A作AD⊥BC于D（如圖），則sinB=
AD
c
，sinC=
AD
b
，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，
即
b
sinB
=
c
sinC
．同理有
c
sinC
=
a
sinA
，
a
sinA
=
b
sinB
．
所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
…（*）
即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．
（1）在銳角三角形中，若已知三個元素a、b、∠A，運用上述結論（*）和有關定理就可以求出其余三個未知元素c、∠B、∠C，請你按照下列步驟填空，完成求解過程：
第一步：由條件a、b、∠A
用關系式
 
求出
∠B；
第二步：由條件∠A、∠B
用關系式
 
求出
∠C；
第三步：由條件
 
用關系式
 
求出
c．
（2）如圖，已知：∠A=60°，∠C=75°，a=6，運用上述結論（*）試求b．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下列材料，并解決后面的問題．
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c．過A作AD⊥BC于D（如圖），則sinB=
AD
c
，sinC=
AD
b
，即AD=csi精英家教網(wǎng)nB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即
b
sinB
=
c
sinC
．
同理有
c
sinC
=
a
sinA
，
a
sinA
=
b
sinB
．
所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
…（*）
即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．
（1）在銳角三角形中，若已知三個元素a、b、∠A，運用上述結論（*）和有關定理就可以
求出其余三個未知元素c、∠B、∠C，請你按照下列步驟填空，完成求解過程：
第一步：由條件a、b、∠A
用關系式
 
求出
∠B；
第二步：由條件∠A、∠B．
用關系式
 
求出
∠C；
第三步：由條件．
 
用關系式
 
求出
c．
（2）一貨貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以28.4海里/時的速度按北偏東45°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西70°的方向上（如圖），求此時貨輪距燈塔A的距離AB（結果精確精英家教網(wǎng)到0.1．參考數(shù)據(jù)：sin40°=0.643，sin65°=0.90 6，sin70°=0.940，sin75°=0.966）．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下列材料，并解決后面給出的問題
例．給定二次函數(shù)y=（x-1）2+1，當t≤x≤t+1時，求y的函數(shù)值的最小值．
解：函數(shù)y=（x-1）2+1，其對稱軸方程為x=1，頂點坐標為（1，1），圖象開口向上．下面分類討論：

（1）如圖1所示，若頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+1左側時，即有1＜t．此時y隨x的增大而增大，當x=t時，函數(shù)取得最小值，y最小值=(t-1)2+1；
（2）如圖2所示，若頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+1內時，即有t≤1≤t+1，解這個不等式，即0≤t≤1．此時當x=1時，函數(shù)取得最小值，y最小值=1；
（3）如圖3所示，若頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+1右側時，有t+1＜1，解不等式即得t＜0．此時Y隨X的增大而減小，當x=t+1時，函數(shù)取得最小值，y最小值=t2+1
綜上討論，當1＜t時，函數(shù)取得最小值，y最小值=(t-1)2+1．
此時當0≤t≤1時，函數(shù)取得最小值，y最小值=1．
當t＜0時，函數(shù)取得最小值，y最小值=t2+1
根據(jù)上述材料，完成下列問題：
問題：求函數(shù)y=x2+2x+3在t≤x≤t+2時的最小值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則sinB=
AD
c
，sinC=
AD
b
，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即
b
sinB
=
c
sinC
，同理有：
c
sinC
=
a
sinA
，
a
sinA
=
b
sinB
，
所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
．
即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素．
根據(jù)上述材料，完成下列各題．

（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=
60°
60°
；AC=
20
6
20
6
；
（2）自從去年日本政府自主自導“釣魚島國有化”鬧劇以來，我國政府靈活應對，現(xiàn)如今已對釣魚島執(zhí)行常態(tài)化巡邏．某次巡邏中，如圖（3），我漁政204船在C處測得A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得釣魚島A在的北偏西75°的方向上，求此時漁政204船距釣魚島A的距離AB．（結果精確到0.01，
6
≈2.449）

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