Question

【題目】如圖 1，折疊矩形紙片 ABCD，具體操作：①點(diǎn) E 為 AD 邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn) A，D 重合），把△ABE 沿 BE 所在的直線折疊，A 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 F 點(diǎn)；②過點(diǎn) E 對(duì)折∠DEF，折痕EG 所在的直線交 DC 于點(diǎn) G，D 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 H 點(diǎn)．

（1）求證：△ABE∽△DEG．

（2）若 AB＝6，BC＝10

①點(diǎn) E 在移動(dòng)的過程中，求 DG 的最大值；

②如圖 2，若點(diǎn) C 恰在直線 EF 上，連接 DH，求線段 DH 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得∠ABE＝∠DEG，而∠A＝∠D＝90°，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）①設(shè) AE＝x，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得DG與x的二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；

②如圖2，根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和等量代換可得∠FEB＝∠EBC，從而得CE＝CB＝10，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理可求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得EF的長(zhǎng)，即為AE的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出DG的長(zhǎng)，進(jìn)一步即可求出EG，由折疊可知 EG 垂直平分線段 DH，然后根據(jù)三角形的面積即可求出DM的長(zhǎng)，從而可得DH．

解：（1）如圖 1 中，由折疊可知∠AEB＝∠FEB，∠DEG＝∠HEG，

∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°，

∴∠AEB+∠DEG＝90°，

∵四邊形 ABCD 是矩形，

∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DEG，

∴△ABE∽△DEG；

（2）①設(shè) AE＝x，則DE=10－x，

∵△ABE∽△DEG，

∴，即，

∴，

∵，

∴x＝5 時(shí)，DG 有最大值，最大值為；

②如圖 2 中，連接 DH，設(shè)DH與EG交于點(diǎn)M，

由折疊可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，AB＝BF＝6，∠BFE＝∠A＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EBC，

∴∠FEB＝∠EBC，

∴CE＝CB＝10，

∴CF＝

∴AE＝EF＝10－8＝2，

∴，

∴，

由折疊可知 EG 垂直平分線段 DH，

∴DM=HM，

根據(jù)三角形的面積可得：，

∴．