【題目】如圖1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直線l經(jīng)過點A,過B、C兩點分別作直線l的垂線段,垂足分別為D、E.
(1)如圖1,△ABD與與△CAE全等嗎?請說明理由;
(2)如圖1,BD=DE+CE成立嗎?為什么?
(3)若直線AE繞A點旋轉到如圖2位置時,其它條件不變,BD與DE、CE關系如何?請說明理由.
【答案】(1)△ABD≌△CAE;(2)成立;(3)DE=BD+CE.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件易證得∠BAD=∠ACE,且根據(jù)全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE;
(2)根據(jù)全等三角形的性質及各線段的關系即可得結論.
(3)DE=BD+CE.根據(jù)全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE,根據(jù)各線段的關系即可得結論.
(1)△ABD≌△CAE,理由如下:
∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵CE⊥AE,∴∠ACE+∠CAE=90°,∴∠ACE=∠BAD;
又∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠ADB=∠CEA=90°.
在△ABD和△CAE中,∵∠BAD=∠ACE,∠ADB=∠CEA,AB=CA,∴△ABD≌△CAE(AAS);
(2)成立,理由如下:
∵△ABD≌△CAE,∴BD=AE,AD=CE;
∵AE=DE+AD,∴BD=DE+CE;
(3)DE=BD+CE.理由如下:
∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵CE⊥AE,∴∠ACE+∠CAE=90°,∴∠ACE=∠BAD;
又∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠ADB=∠CEA=90°.
在△ABD和△CAE中,∵∠BAD=∠ACE,∠ADB=∠CEA,AB=CA,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,AD=CE;
∵DE=AE+AD,∴DE=BD+CE.
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【題目】某商廈進貨員預測一種應季襯衫能暢銷市場,就用萬元購進這種襯衫,面市后果然供不應求.商廈又用萬元購進第二批這種襯衫,所購數(shù)量是第一批進量的倍,但單價貴了元.商廈銷售這種襯衫時每件定價元,最后剩下件按八折銷售,很快售完.在這兩筆生意中,商廈共盈利多少元?
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【題目】“如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是△ABC的高,則△ACD與△CBD相似嗎?”于是,學生甲發(fā)現(xiàn)CD2=AD·BD也成立.
問題1:請你證明CD2=AD·BD;
學生乙從CD2=AD·BD中得出:可以畫出兩條已知線段的比例中項.
問題2:已知兩條線段AB、BC在x軸上,如圖2:請你用直尺(無刻度)和圓規(guī)作出這兩條線段的比例中項.要求保留作圖痕跡,不要寫作法,最后指出所要作的線段.
學生丙也從CD2=AD·BD中悟出了矩形與正方形的等積作法.
問題3:如圖3,已知矩形ABCD,請你用直尺(無刻度)和圓規(guī)作出一個正方形BMNP,使得S正方形BMNP=S矩形ABCD.要求:保留作圖痕跡;簡要寫出作圖每個步驟的要點.
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【題目】“龜免賽跑”的故事同學們都非常熱悉,圖中的線段OD和折線OABC表示“龜兔賽跑時路程與時間的關系,請你根據(jù)圖中給出的信息,解決下列問題.
(1)填空:折線OABC表示賽跑過程中_______(填“兔子”或“烏龜”)的路程與時間的關系,賽跑的全過程是___________米.
(2)兔子在起初每分鐘跑多少米?烏龜每分鐘爬多少米?
(3)烏龜用了多少分鐘追上了正在睡覺的兔子?
(4)兔子醒來假,以400米/分的速度跑向終點,結果還是比烏龜晚到了0.5分鐘,請你算算兔子中間停下睡覺用了多少分鐘.
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【題目】如圖,中,.點從點出發(fā)沿路徑向終點運動;點從點出發(fā)沿路徑向終點運動.點和分別以1和3的運動速度同時開始運動,兩點都要到相應的終點時才能停止運動,在某時刻,分別過和作于,于.則點運動時間等于____________時,與全等。
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【題目】(1)如圖1,在正方形ABCD中,E是AB上一點,F是AD延長線上一點,且DF=BE.求證:CE=CF;
(2)如圖2,在正方形ABCD中,E是AB上一點,G是AD上一點,如果∠GCE=45°,請你利用(1)的結論證明:GE=BE+GD.
(3)運用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識,完成下題:
如圖3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一點,且∠DCE=45°,BE=4,DE="10," 求直角梯形ABCD的面積.
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【題目】如圖,在△ABC中,CD是AB邊上的中線,E是CD的中點,過點C作AB的平行線交AE的延長線于點F,連接BF.
(1) 求證:CF=AD;
(2) 若CA=CB,∠ACB=90°,試判斷四邊形CDBF的形狀,并說明理由.
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