Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（0，﹣ ），點(diǎn)B在x軸上．已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，且它的對稱軸為直線x=1，點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)F．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示線段PF的長；
（3）求△PBC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），

由拋物線的對稱性知B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

依題意得： ，

解得： ，

∴所求二次函數(shù)的解析式為

（2）

解：∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)），

依題意，得 ，

∴ ，

故直線BC的解析式為 ，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ，

∴

（3）

解：∵△PBC的面積 ，

∴當(dāng) 時(shí)，△PBC的最大面積為 ，

把 代入 ，

得 ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【解析】此題文字比較多，而且圖象也比較復(fù)雜，所以解題時(shí)需要理解題意．（1）可以采用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，因?yàn)辄c(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，﹣ ）在函數(shù)圖象上，對稱軸為x=1，也可求得A的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），列方程組即可求得解析式；（2）先求得直線BC的解析式為 ，則可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ，再求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為 ，可得線段PF的長；（3）利用面積和，△PBC的面積 即可求得．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．