Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)、點(diǎn)為某個菱形的一組對角的頂點(diǎn)，且點(diǎn)、在直線上，那么稱該菱形為點(diǎn)、的“極好菱形”，如圖為點(diǎn)、的“極好菱形”的一個示意圖。

（1）點(diǎn)，，中，能夠成為點(diǎn)、的“極好菱形”的頂點(diǎn)的是_______.

（2）若點(diǎn)、的“極好菱形”為正方形，則這個正方形另外兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是________.

（3）如果四邊形是點(diǎn)、的“極好菱形”

①當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，求四邊形的面積

②當(dāng)四邊形的面積為，且與直線有公共點(diǎn)時，直接寫出的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ，;

(2) （1，3）、（3，1）;

(3)①1;②-4≤b≤4.

【解析】

（1）如圖1中，觀察圖象可知：F、G能夠成為點(diǎn)M，P的“極好菱形”頂點(diǎn)；
（2）先求得對角線PM的長，從而可得到正方形的邊長，然后可得到這個正方形另外兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）①，先依據(jù)題意畫出圖形，然后可證明該四邊形為正方形，從而可求得它的面積；②根據(jù)菱形的性質(zhì)得：PM⊥QN，且對角線互相平分，由菱形的面積為8，且菱形的面積等于兩條對角線積的一半，可得QN的長，證明Q在y軸上，N在x軸上，可得結(jié)論．

解：（1）如圖1中，觀察圖象可知：F、G能夠成為點(diǎn)M，P的“極好菱形”頂點(diǎn)．

故答案為：F，G；
（2）如圖2所示：

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3），
∴MP=2．
∵“極好菱形”為正方形，其對角線長為2，
∴其邊長為2．
∴這個正方形另外兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）、（3，1）．
（3）①如圖2所示：
∵M（1，1），P（3，3），N（3，1），
∴MN=2，PN⊥MN．
∵四邊形MNPQ是菱形，
∴四邊形MNPQ是正方形．
∴S四邊形MNPQ=4．．
②如圖3所示：

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3），
∴PM=2，
∵四邊形MNPQ的面積為8，
∴S四邊形MNPQ=PMQN=8，即

×2×QN=8，
∴QN=4，
∵四邊形MNPQ是菱形，
∴QN⊥MP，ME=，EN=2，
作直線QN，交x軸于A，
∵M（1，1），
∴OM=，
∴O=2，
∵M和P在直線y=x上，
∴∠MOA=45°，
∴△EOA是等腰直角三角形，
∴EA=2，
∴A與N重合，即N在x軸上，
同理可知：Q在y軸上，且ON=OQ=4，
由題意得：四邊形MNPQ與直線y=x+b有公共點(diǎn)時，b的取值范圍是-4≤b≤4．