【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,AB=6,點P是AB邊上的任意一點(點P不與點A、點B重合),過點P作PD⊥AB,交直線BC于點D,作PE⊥AC,垂足為點F.

(1)求∠APE的度數(shù);
(2)連接DE,當(dāng)△PDE為等邊三角形時,求BP的長.

【答案】
(1)解:∵△ABC為等邊三角形,

∴∠A=∠B=∠C=60°,

∵PE⊥AC,

∴∠AEP=90°,

∴∠APE=180°﹣∠A﹣∠AEP=180°﹣60°﹣90°=30°


(2)解:設(shè)BP=x,則AP=6﹣x,

在Rt△BPD中,PD=BPtan60°= x,在Rt△APE中,PE=APsin60°=

∵△PDE為等邊三角形,

∴PD=PE,

= (6﹣x),

解得:x=2,

∴當(dāng)△PDE為等邊三角形時,BP的長為2


【解析】(1)利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=∠B=∠C=60°,在利用垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果;(2)設(shè)BP=x,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),利用三角函數(shù),易得PD= x,在Rt△APE中,PE=APsin60°= ,利用等邊三角形的性質(zhì)可得PE=PD,建立等量關(guān)系,解得x.
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題.

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A.3
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