Question

【題目】綜合題

（1）操作發(fā)現(xiàn)：
如圖①，在正方形ABCD中，過A點(diǎn)有直線AP，點(diǎn)B關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接DE交AP于點(diǎn)F，當(dāng)∠BAP=20°時(shí)，則∠AFD=°；當(dāng)∠BAP=α°（0＜α＜45°）時(shí)，則∠AFD=；猜想線段DF，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系：DF﹣EF=AF（填系數(shù)）；
（2）數(shù)學(xué)思考：
如圖②，若將“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中，∠BAD=120°”，其他條件不變，則∠AFD=；線段DF，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，若發(fā)生改變，請(qǐng)寫出數(shù)量關(guān)系并說明理由；
（3）類比探究：
如圖③，若將“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中，∠BAD=α°”，其他條件不變，則∠AFD=°；請(qǐng)直接寫出線段DF，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系： ．

Answer 1

【答案】
（1）45,,45
（2）30
（3）解：（90﹣ ）,DF﹣EF=2sin αAF
【解析】【解析】解：（1）如圖①中，連接BF、作AH⊥AF交DE于H．

當(dāng)∠PAB=20°時(shí)，

∵∠PAB=∠PAE=20°，∠BAD=90°，

∴∠EAD=130°，

∵AB=AE=AD，

∴∠E= （180°﹣130°）=25°，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=45°，

當(dāng)∠PAB=α?xí)r，∠E= [180°﹣（90°+2α）]=45°﹣α，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=45°﹣α+α=45°，

∵∠AFH=45°，∠FAH=90°，

∴AF=AH，

∵∠FAH=∠BAD=90°，

∴∠FAB=∠HAD，∵AB=AD，

∴△FAB≌△HAD，

∴BF=DH，

∵EF=BF，

∴DH=EF，

∴DF﹣EF=FH= AF，

所以答案是45，45， ．

⑵如圖②中，連接BF、作∠FAH=120°交DE于H，AM⊥DE于M．

設(shè)∠PAB=α，

則∠E= [180°﹣（120°+2α）=30°﹣α，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=30°，

∵∠EAH=∠BAD=120°，

∴∠FAB=∠HAD，

∵∠AFH=∠AHF=30°，

∴AF=AH，∵AB=AD，

∴△FAB≌△HAD，

∴BF=DH=EF，

∴DF﹣AF=DF﹣DH=FH，

∴AM⊥FH，AF=AH，

∴FM=MH=AFcos30°，

∴FH= AF，

∴DF﹣EF= AF，

所以答案是30，改變，DF﹣EF= AF

⑶如圖③中，當(dāng)∠BAD=α?xí)r，設(shè)∠PAB=∠PAE=x，連接BF、作∠FAH=α交DE于H，AM⊥DE于M．

則∠E= [180°﹣（α+2x）=90°﹣ α﹣x，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=90°﹣ α，

∵∠EAH=∠BAD=α，

∴∠FAB=∠HAD，

∵∠AFH=∠AHF=90°﹣ α，

∴AF=AH，∵AB=AD，

∴△FAB≌△HAD，

∴BF=DH=EF，

∴DF﹣AF=DF﹣DH=FH，

∴AM⊥FH，AF=AH，

∴FM=MH=AFsin α，

∴FH=2sin αAF，

∴DF﹣EF=2sin αAF．

所以答案是（90﹣ img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/02/24/01/d9b95732/SYS201802240151098887506597_DA/SYS201802240151098887506597_DA.002.png" width="9" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ），DF﹣EF=2sin αAF．
（1）如圖①中，連接BF、作AH⊥AF交DE于H．根據(jù)∠AFD=∠E+∠PAE=45°求出∠E即可解決問題；只需要證明△FAB≌△HAD，就可得出結(jié)論DF﹣EF=FH= AF解決問題；（2）如圖②中，結(jié)論：30°，改變，DF﹣EF= AF，連接BF、作∠FAH=120°交DE于H，AM⊥DE于M．只需要證明△FAB≌△HAD，F(xiàn)H= AF即可；（3）結(jié)論（90﹣ ），DF﹣EF=2sin αAF．如圖③中，當(dāng)∠BAD=α?xí)r，設(shè)∠PAB=∠PAE=x，連接BF、作∠FAH=α交DE于H，AM⊥DE于M．證明方法類似。

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解菱形的性質(zhì)(菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長的積的一半)，還要掌握正方形的性質(zhì)(正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．