定義:若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形,則稱這個(gè)圖形是自相似圖形.
探究:(1)如圖甲,已知△ABC中∠C=90°,你能把△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形嗎?若能,請?jiān)趫D甲中畫出分割線,并說明理由.
(2)一般地,“任意三角形都是自相似圖形”,只要順次連結(jié)三角形各邊中點(diǎn),則可將原三分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形.我們把△DEF(圖乙)第一次順次連結(jié)各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割,稱為1階分割(如圖1);把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割,稱為2階分割(如圖2)……依次規(guī)則操作下去.n階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形(n為正整數(shù)),設(shè)此時(shí)小三角形的面積為Sn
①若△DEF的面積為1000,當(dāng)n為何值時(shí),3<Sn<4?
(請用計(jì)算器進(jìn)行探索,要求至少寫出二次的嘗試估算過程)
②當(dāng)n>1時(shí),請寫出一個(gè)反映Sn-1,Sn,Sn+1之間關(guān)系的等式(不必證明)
解:(1)正確畫出分割線CD
(如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,CD即是滿足要求的分割線,若畫成直線不扣分)        

理由:∵ ∠B = ∠B,∠CDB=∠ACB=90°
∴△BCD ∽△ACB                 
(2)① △DEF 經(jīng)N階分割所得的小三角形的個(gè)數(shù)為 
 
當(dāng) n =3時(shí),S3 =  ≈15.62                      
當(dāng) n = 4時(shí), S4 ≈3.91        
∴當(dāng) n= 4時(shí),3 <S4< 4
       
(1)過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,CD即是滿足要求的分割線
(2)根據(jù)題目找出△DEF 經(jīng)N階分割所得的小三角形的個(gè)數(shù)為規(guī)律即可
(3)根據(jù)(2)中,利用冪的運(yùn)算計(jì)算易得出
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知,點(diǎn)EAC上且,連結(jié)DE并延長它,交BC于點(diǎn)F,交AB的延長線于點(diǎn)G.

(1)試說明:△ADE∽△CFE;
(2)當(dāng)時(shí),
①求的值和的長;
②當(dāng)點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)時(shí),求的長;
(3)當(dāng)的值為多少時(shí),.請簡單說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、E分別在BC、AC上,且BD=CE,AD與BE相交于點(diǎn)F.(1)試說明:△ABD≌△BCE. (2)△AEF與△ABE相似嗎?請說明理由.
(3)試說明:BD2=AD·DF.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖所示,△ABC中,E、F、D分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn),且滿足,則 △EFD與△ABC的面積比為【   】

A.            B.              C.             D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,已知為△的角平分線,,如果,那么=        

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,在△ABC中,∠ACB=,過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AC上一點(diǎn),過E點(diǎn)作AC的垂線,交CD的延長線于點(diǎn)F ,與AB交于點(diǎn)G.求證:△ABC∽△FGD

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示:直線MN⊥RS于點(diǎn)O,點(diǎn)B在射線OS上,OB=2,點(diǎn)C在射線ON上,OC=2,點(diǎn)E是射線OM上一動點(diǎn),連結(jié)EB,過O作OP⊥EB于P,連結(jié)CP,過P作PF⊥PC交射線OS于F。
(1)求證:△POC∽△PBF。
(2)當(dāng)OE=1,OE=2時(shí), BF的長分別為多少?當(dāng)OE=n時(shí),BF=_______.
(3)當(dāng)OE=1時(shí),;OE=2時(shí), ;…,OE=n時(shí),.則=_______.(直接寫出答案)

備用圖

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(1)(3分)如圖(1),正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上,直接寫出HD∶GC∶EB的結(jié)果(不必寫計(jì)算過程);
(2)(3分)將圖(1)中的正方形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度,如圖(2),求HD∶GC∶EB;
(3)(2分)把圖(2)中的正方形都換成矩形,如圖(3),且已知DA∶AB=HA∶AE=m: n,此時(shí)HD∶GC∶EB的值與(2)小題的結(jié)果相比有變化嗎?如果有變化,直接寫出變化后的結(jié)果(不必寫計(jì)算過程).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知△ABC與△DEF相似且面積比為4:25,則△ABC與△DEF的相似比為    ▲   

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