【題目】如圖,過邊長為8的等邊的邊AB上一點P,作, 延長線上一點,當時,連接邊于,則的長為________

【答案】

【解析】過P作PF∥BC交AC于F,得出等邊三角形APF,推出AP=PF=QC,根據(jù)等腰三角形性質求出EF=AE,證△PFD≌△QCD,推出FD=CD,推出DE=AC即可.

解:如圖,過P作PF∥BC交AC于F,


∵PF∥BC,△ABC是等邊三角形,
∴∠PFD=∠QCD,∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°,∠A=60°,
∴△APF是等邊三角形,∴AP=PF=AF,
∵PE⊥AC,∴AE=EF,
∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ,
在△PFD和△QCD中
∠PFD=∠QCD,∠PDF=∠CDQ,PF=CQ,

∴△PFD≌△QCD,∴FD=CD,
∵AE=EF,∴EF+FD=AE+CD,∴AE+CD=DE=AC,
∵AC=8,∴DE=4,
故答案為:4.

“點睛”本題綜合考查了全等三角形的性質和判定,等邊三角形的性質和判定,等腰三角形的性質,平行線的性質等知識點的應用,能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵,通過做此題培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力,題型較好,難度適中.

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