【題目】已知:在Rt△ABC,∠ABC=90°,∠C=60°,現(xiàn)將一個(gè)足夠大的直角三角板的頂點(diǎn)P放在斜邊AC上.
(1)設(shè)三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC于點(diǎn)M、N.
①當(dāng)點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)時(shí),分別作PE⊥AB于點(diǎn)E,PF⊥BC于點(diǎn)F,得到圖1,寫出圖中的一對(duì)全等三角形;
②在①的條件下,寫出與△PEM相似的三角形,并直接寫出PN與PM的數(shù)量關(guān)系.
(2)移動(dòng)點(diǎn)P,使AP=2CP,將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC于點(diǎn)M、N(PM不與邊AB垂直,PN不與邊BC垂直);或者三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)M、N.
③請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形,判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系,并選擇其中一種圖形證明你的結(jié)論;
④在③的條件下,當(dāng)△PCN是等腰三角形時(shí),若BC=3cm,則線段BN的長(zhǎng)是 .
【答案】(1)、①△AEP≌△PFC;理由見解析;②、△PFN∽△PEM,PN=PM;理由見解析;(2)、③、答案見解析;④、1cm或5cm
【解析】
試題分析:(1)、①求出∠AEP=∠B=∠PFC=90°,∠APE=∠C=60°,根據(jù)AAS推出兩三角形全等即可;②求出AB=BC,求出PE=BC,PF=AB,推出,求出∠EPM=∠NPF=90°﹣∠MPF,∠PEM=∠PFN=90°,根據(jù)相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM,推出,即可得出答案;(2)、③過P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,求出△AEP∽∠PFC,推出=2,設(shè)CF=x,則PE=2x,求出PF=x,證△PEM∽△PFN,推出即可;④求出CP=2cm,分為兩種情況:第一種情況:當(dāng)N在線段BC上時(shí),得出△PCN是等邊三角形,求出CN=CP=2cm,代入BN=BC﹣CN求出即可;第二種情況:當(dāng)N在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),求出CN=PC=2cm,代入BN=BC+CN求出即可.
試題解析:(1)、①△AEP≌△PFC,
理由是:∵P為AC中點(diǎn),∴AP=PC,∵PE⊥AB,PF⊥BC,∠B=90°,∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°,
∴PF∥AB,PE∥BC,∴∠APE=∠C=60°,在△AEP和△PFC中∴△AEP≌△PFC(AAS).
②、△PFN∽△PEM,PN=PM,
理由是:∵在Rt△ACB中,∠ABC=90°,∠C=60°,∴AB=BC,
∵PE∥BC,PF∥AB,P為AC中點(diǎn),∴E為AB中點(diǎn),F(xiàn)為BC中點(diǎn),∴PE=BC,PF=AB,
∴,∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°,∴∠EPF=90°,∵∠MPN=90°,
∴∠EPM=∠NPF=90°﹣∠MPF,∵∠PEM=∠PFN=90°,∴△PFN∽△PEM,∴,∴PN=PM.
(2)、③PM=2PN,如圖,
過P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°,∴PE∥BC,∴∠APE=∠C,
∴△AEP∽∠PFC,∴===2,設(shè)CF=x,則PE=2x,在Rt△PFC中,∠C=60°,∠PFC=90°,
∴PF=x,∵在四邊形BFPE中,∠BFP=∠B=∠BEP=90°,∴∠EPF=90°,即∠EPM+∠MPF=90°,
∵∠NPF+∠MPF=90°,∴∠NPF=∠EPM,∵∠MEP=∠PFN=90°,∴△PEM∽△PFN,
∴===,∴PM=PN.
④、∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=60°,BC=3cm ∴AC=2BC=6cm,∵AP=2PC,∴CP=2cm,
分為兩種情況:第一種情況:當(dāng)N在線段BC上時(shí),如圖
∵△PCN是等腰三角形,∠C=60°,CP=2cm,∴△PCN是等邊三角形,∴CN=CP=2cm,
∴BN=BC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm;
第二種情況:當(dāng)N在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,
∵∠PCN=180°﹣60°=120°,∴要△PCN是等腰三角形,只能PC=CN,即CN=PC=2cm,
∴BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm,即BN的長(zhǎng)是1cm或5cm,
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個(gè)三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角,這個(gè)三角形是( )
A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)O是AB上一點(diǎn),⊙O過B、D兩點(diǎn),且分別交AB、BC于點(diǎn)E、F.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)已知AB=10,BC=6,求⊙O的半徑r.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD沿直線EF折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,折痕交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接AF、CE,
(1)求證:四邊形AFCE為菱形;
(2)設(shè)AE=a,ED=b,DC=c.請(qǐng)寫出一個(gè)a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠1+∠2=180°,∠3=∠B,試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
解:∠C與∠AED相等,理由如下:
∵∠1+∠2=180°(已知),∠1+∠DFE=180°(鄰補(bǔ)角定義)
∴∠2= . ( . ),
∴AB∥EF( . )
∴∠3= . ( . )
又∠B=∠3(已知)
∴∠B= . (等量代換)
∴DE∥BC( . )
∴∠C=∠AED( . ).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】端午節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié),民間歷來有吃“粽子”的習(xí)俗.我市某食品廠為了解市民對(duì)去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽(以下分別用A、B、C、D表示)這四種不同口味粽子的喜愛情況,在節(jié)前對(duì)某居民區(qū)市民進(jìn)行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(尚不完整).
請(qǐng)根據(jù)以上信息回答:
(1)本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人?
(2)將兩幅不完整的圖補(bǔ)充完整;
(3)若居民區(qū)有8000人,請(qǐng)估計(jì)愛吃D粽的人數(shù).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中俄“海上聯(lián)合﹣2014”反潛演習(xí)中,我軍艦A測(cè)得潛艇C的俯角為30°,位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B測(cè)得潛艇C的俯角為68°,試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5, 1.7)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,直線AB交CD于點(diǎn)O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD:∠BOE=4:1,則∠AOF等于( )
A.130°
B.120°
C.110°
D.100°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今夏,十堰市王家河村瓜果喜獲豐收,果農(nóng)王二胖收獲西瓜20噸,香瓜12噸,現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批瓜果全部運(yùn)往外地銷售,已知一輛甲種貨車可裝西瓜4噸和香瓜1噸,一輛乙種貨車可裝西瓜和香瓜各2噸.
(1)果農(nóng)王二胖如何安排甲、乙兩種貨車可一次性地運(yùn)到銷售地?有幾種方案?
(2)若甲種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)300元,乙種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)240元,則果農(nóng)王二胖應(yīng)選擇哪種方案,使運(yùn)輸費(fèi)最少?最少運(yùn)費(fèi)是多少?
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com