【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC=10,BC=12,點E是弧BC的中點.
(1)過點E作BC的平行線交AB的延長線于點D,求證:DE是⊙O的切線.
(2)點F是弧AC的中點,求EF的長.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)連接AE,由等弦對等弧可得,進而推出,可知AE為⊙O的直徑,再由等腰三角形三線合一得到AE⊥BC,根據(jù)DE∥BC即可得DE⊥AE,即可得證;
(2)連接BE,AF,OF,OF與AC交于點H,AE與BC交于點G,利用勾股定理求出AG,然后求直徑AE,再利用垂徑定理求出HF,最后用勾股定理求AF和EF.
證明:(1)如圖,連接AE,
∵AB=AC
∴
又∵點E是弧BC的中點,即
∴,即
∴AE為⊙O的直徑,
∵
∴∠BAE=∠CAE
又∵AB=AC
∴AE⊥BC
∵DE∥BC
∴DE⊥AE
∴DE是⊙O的切線.
(2)如圖,連接BE,AF,OF,OF與AC交于點H,AE與BC交于點G,
∴∠ABE=∠AFE=90°,OF⊥AC
由(1)可知AG垂直平分BC,∴BG=BC=6
在Rt△ABG中,
∵cos∠BAE=cos∠BAG
∴,即
∴AE=
∴⊙O的直徑為,半徑為.
設(shè)HF=x,則OH=
∴在Rt△AHO中,
即,
解得
∴
∴
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以AB為直徑的⊙O交BC于點E,則陰影部分的面積為_____.
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【題目】(本題滿分10分)科幻小說《實驗室的故事》中,有這樣一個情節(jié),科學(xué)家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中,經(jīng)過一天后,測試出這種植物高度的增長情況(如下表):
溫度/℃ | …… | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 4.5 | …… |
植物每天高度增長量/mm | …… | 41 | 49 | 49 | 41 | 25 | 19.75 | …… |
由這些數(shù)據(jù),科學(xué)家推測出植物每天高度增長量是溫度的函數(shù),且這種函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種.
(1)請你選擇一種適當?shù)暮瘮?shù),求出它的函數(shù)關(guān)系式,并簡要說明不選擇另外兩種函數(shù)的理由;
(2)溫度為多少時,這種植物每天高度的增長量最大?
(3)如果實驗室溫度保持不變,在10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250mm,那么實驗室的溫度應(yīng)該在哪個范圍內(nèi)選擇?請直接寫出結(jié)果.
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【題目】某區(qū)域平面示意圖如圖,點O在河的一側(cè),AC和BC表示兩條互相垂直的公路.甲勘測員在A處測得點O位于北偏東45°,乙勘測員在B處測得點O位于南偏西73.7°,測得AC=840m,BC=500m.請求出點O到BC的距離.參考數(shù)據(jù):sin73.7°≈,cos73.7°≈,tan73.7°≈
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【題目】如圖,⊙O的半徑為2,正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O,對角線CE、DF相交于點M,則△MEF的面積是_____.
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【題目】某商場將進貨單價為30元的商品以每個40元的價格售出時,平均每月能售出600個,調(diào)查表明:這種商品的售價每上漲1元,其銷售量就減少10個.
(1)為了使平均每月有10000元的銷售利潤且盡快售出,這種商品的售價應(yīng)定為每個多少元?
(2)當該商品的售價為每個多少元時,商場銷售該商品的平均月利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】我縣為積極響應(yīng)創(chuàng)建“省級衛(wèi)生城市”的號召,為打造“綠色樂至,健康樂至”是我們每個樂至人應(yīng)盡的義務(wù).某鄉(xiāng)鎮(zhèn)積極開展垃圾分類有效回收,據(jù)統(tǒng)計2017年有效回收的垃圾約1.5萬噸,截止2019年底,有效回收的垃圾約2.8萬噸,設(shè)這兩年該鄉(xiāng)鎮(zhèn)的垃圾有效回收平均增長率為x,則下列方程正確的是( ).
A.1.5(1+2x)=2.8B.
C.D.+
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【題目】如圖,在一張矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=8,點E,F(xiàn)分別在AD,BC上,將紙片ABCD沿直線EF折疊,點C落在AD上的一點H處,點D落在點G處,有以下四個結(jié)論:
①四邊形CFHE是菱形;
②EC平分∠DCH;
③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4;
④當點H與點A重合時,EF=2.
以上結(jié)論中,你認為正確的有 .(填序號)
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